Тест Хаусмана

Тест Хаусмана, называемый также тестом Ву-Хаусмана или Дарбина-Ву-Хаусмана — применяемый в эконометрике тест для сравнения моделей, оцененных разными методами, один из которых позволяет получить состоятельные оценки и при нулевой и при альтернативной гипотезе, а другой — только при нулевой гипотезе.

В частности, тест позволяет сравнить оценки метода наименьших квадратов и метода инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что факторы модели экзогенны, альтернатива — что эндогенны. В обоих случаях метод инструментальных переменных дает состоятельные оценки (инструменты по определению предполагаются экзогенными). А метод наименьших квадратов дает состоятельные оценки только при экзогенности факторов. Таким образом, если нулевая гипотеза выполнена, то оценки разных методов асимптотически эквиваленты, в противном случае различия между ними будут значимыми. Тем самым тест позволяет оценить экзогенность факторов модели.

Описание тестаПравить

Пусть имеются оценки линейной модели методом наименьших квадратов и методом инструментальных переменных. Нулевая гипотеза заключается в том, что обе оценки состоятельны. Это означает, что факторы модели являются экзогенными. Статистика теста равна

$({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{IV}-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS}{)}^T({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{IV}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS}}{)}^{-<!--\; -\; -->1}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{IV}-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS})$$({\hat {b}}_{{IV}}-{\hat {b}}_{{OLS}})^{T}({\hat {V}}_{{{\hat b}_{{IV}}}}-{\hat V}_{{{\hat b}_{{OLS}}}})^{{-1}}({\hat b}_{{IV}}-{\hat b}_{{OLS}})$ 

Данная статистика имеет асимптотическое распределение Хи-квадрат с количеством степеней свободы, равным рангу матрицы ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{IV}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS}}$${\hat {V}}_{{{\hat b}_{{IV}}}}-{\hat V}_{{{\hat b}_{{OLS}}}}$ , где

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{OLS}}=s^2(X^{T}X{)}^{-<!--\; -\; -->1},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{V}}_{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{IV}}=s^2(X^T{P}_{Z}X{)}^{-<!--\; -\; -->1},P_Z=Z(Z^{T}Z{)}^{-<!--\; -\; -->1}{Z}^T,s^2=ESS/(n-<!--\; -\; -->k)$${\hat V}_{{{\hat b}_{{OLS}}}}=s^{2}(X^{T}X)^{{-1}}~,~{\hat {V}}_{{{\hat b}_{{IV}}}}=s^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{{-1}}~,~P_{Z}=Z(Z^{T}Z)^{{-1}}Z^{T}~,~s^{2}=ESS/(n-k)$ .

Если статистика превышает критическое значение, регрессоры модели нельзя считать экзогенными, поэтому лучше использовать метод инструментальных переменных. В противном случае можно считать, что регрессоры не хуже инструментов и применять обычный МНК.

Иногда используется следующий вариант теста. На первом шаге оценивается МНК-регрессия факторов на инструменты. На втором шаге оценивается (также с помощью МНК) регрессия объясняемой переменной на исходные факторы и оценки этих факторов, полученных на первом шаге (или остатки регрессий, полученных на первом шаге). Если коэффициенты при дополнительных переменных совместно значимы (проверяется стандартными тестами — тест Вальда, F-тест, t-статистики), то регрессоры являются эндогенными.

См. такжеПравить

• Экзогенность
• Метод инструментальных переменных