Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q$$\delta Q$, к изменению температуры $dT$$dT$, которое при этом произошло $C=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q}{dT}$$C={\frac {\delta Q}{dT}}$ .

Теплоёмкость определяется суммой поступательных, вращательных и удвоенным числом колебательных степеней свободы.

Удельная и молярная теплоёмкостьПравить

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества :

$C_M=\frac{C}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=\frac{1}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T},$$C_{M}={\frac {C}{\nu }}={\frac {1}{\nu }}{\frac {\delta Q}{\Delta T}},$ 

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=m/M,$$\nu =m/M,$  $m$$m$  — масса, $M$$M$  — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К).

Формула расчёта удельной теплоёмкости:

$c=\frac{C_M}{M}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q}{mdT},$$c={\frac {C_{M}}{M}}={\frac {\delta Q}{mdT}},$ 

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессахПравить

АдиабатическийПравить

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть $dQ=0$$dQ=0$ . Однако, объём, давление и температура меняются, то есть $dT\ne <!--\; \ne \; -->0$$dT\neq 0$ .

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: $C=\frac{0}{dT}=0$$C = {0 \over dT} = 0$ .

ИзотермическийПравить

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть $dT=0$$dT=0$ . При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: $C\to <!--\; \to \; -->\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$C\to \pm \infty$ 

ИзохорныйПравить

В изохорном процессе постоянен объём, то есть $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}V=0$$\delta V=0$  и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид:

$dU=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}{C}_{V}dT.(1)$$dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.\qquad (1)$ 

А для идеального газа

$dU=\frac{i}{2}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}R\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T.$$dU={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T.$ 

Таким образом,

$C_V=\frac{i}{2}R,$$C_V=\frac i2 R,$ 

где $i$$i$  — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

$C_V=\frac{R}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1},$$C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}},$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — показатель адиабаты, $R$$R$  — газовая постоянная газа.

ИзобарныйПравить

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как $C_p$$C_p$ . В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера $C_p=C_v+R$$C_p = C_v + R$ . Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q=\mathrm{d}U+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A,(2)$$\delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (2)$ .

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}Q=C_p\mathrm{d}T,$$\delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,$ 

Учитываем, что работа газа равна :

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A=\mathrm{d}(pV)=nR\mathrm{d}T=p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=p\mathrm{d}V,(V\mathrm{d}p=0)(3)$$\delta A=\mathrm {d} (pV)=nR\mathrm {d} T\qquad =p\mathrm {d} V\qquad +V\mathrm {d} p\qquad =p\mathrm {d} V\qquad ,(V\mathrm {d} p\qquad =0)(3)$ 

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона для одного моля газа:

$p\mathrm{d}V=R\mathrm{d}T.(4)$$p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (4)$ 

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A=R\mathrm{d}T(5)$$\delta A=R\mathrm {d} T\qquad (5)$ 

Так как энергия одной молекулы равна $<e>={\frac {i}{2}}kT$  (6), то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой:

• для общего случая $C_p=\frac{i+2}{2}R,$$C_{p}={\frac {i+2}{2}}R,$ 
• для одноатомных газов $C_p=\frac{5}{2}R,$$C_{p}={\frac {5}{2}}R,$  то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами $C_p=\frac{7}{2}R,$$C_{p}={\frac {7}{2}}R,$  то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами $C_p=4R,$$C_{p}=4R,$  то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклонятся от теплоёмкости идеального газа. Так при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры.

См. такжеПравить

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

ЛитератураПравить

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.