Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса, расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий видПравить

Уравнение обычно записывается так:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->[D(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\mathbf{r})\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r},t)],$$\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{r},t) \big],$

где φ(r, t) — плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D(φ, r) — обобщённый коэффициент диффузии для плотности φ в точке r; ∇ — оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если D — симметричный положительно определённый оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}\left[D_{ij}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\mathbf{r})\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{r},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}\right].$${\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\varphi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right].$

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r},t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=D{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r},t),$${\frac {\partial \phi ({\mathbf {r}},t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\mathbf {r}},t),$ 

также называемому уравнением теплопроводности.

История происхожденияПравить

Дифференциальное уравнение в частных производных было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.

Нестационарное уравнениеПравить

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случайПравить

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$$D$  уравнение имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}c(x,t)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}D\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}c(x,t)+f(x,t).$${\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).$ 

При постоянном $D$$D$  приобретает вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}c(x,t)=D\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}c(x,t)+f(x,t),$${\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),$ 

где $c(x,t)$$c(x,\;t)$  — концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,t)$$f(x,\;t)$  — функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случайПравить

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t)=(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->},D\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t))+f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t),$${\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}},\;t))+f({\vec {r}},\;t),$ 

где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}=({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_y,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_z)$$\nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})$  — оператор набла, а $(,)$$(\;,\;)$  — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{t}c=\mathbf{d}\mathbf{i}\mathbf{v}(D\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}c)+f,$$\partial _{t}c={\mathbf {div}}\,(D\,{\mathbf {grad}}\,c)+f,$ 

а при постоянном $D$$D$  приобретает вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t)=D\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t)+f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r},t),$${\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=D\Delta c({\vec {r}},\;t)+f({\vec {r}},\;t),$ 

где $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}$$\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$  — оператор Лапласа.

n-мерный случайПравить

$n$$n$ -мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$$n$ -мерные версии соответствующих операторов:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}=({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n),$$\nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),$ 

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2={\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1^2+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2^2+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n^2.$$\Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.$ 

Это касается и двумерного случая $n=2$$n=2$ .

МотивацияПравить

A.Править

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}c}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$\Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}$  (одномерный случай),

$\mathbf{j}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\varkappa <!--\; \varkappa \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}c$$\mathbf j=-\varkappa\nabla c$  (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}c}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=0$${\frac {\partial c}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=0$  (одномерный случай),

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}c}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{j}=0$${\frac {\partial c}{\partial t}}+{\mathrm {div}}\,{\mathbf j}=0$  (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
• Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.Править

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$$n$ -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$$c$  в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

РешениеПравить

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящим от $x$$x$  и $t$$t$  — $D$$D$  (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией $c_f(x,0)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$$c_{f}(x,\;0)=\delta (x)$  и граничном условии $c_f(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},t)=0$$c_{f}(\infty ,\;t)=0$ ) есть

$c_f(x,t)=\sqrt{\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}Dt}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{4Dt}\right).$$c_{f}(x,\;t)={\sqrt {{\frac {1}{4\pi Dt}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right).$ 

В этом случае $c_f(x,t)$$c_{f}(x,\;t)$  можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время $t$$t$  перейдёт в пункт с координатой $x$$x$ . То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки

$⟨<!--\; ⟨\; -->x^2⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{x}^2{c}_f(x,t)dx=2Dt.$$\langle x^{2}\rangle =\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}c_{f}(x,\;t)\,dx=2Dt.$ 

В случае произвольного начального распределения $c(x,0)$$c(x,\;0)$  общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

$c(x,t)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}c(x^{\prime },0)c_f(x-<!--\; -\; -->x^{\prime },t)d{x}^{\prime }=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}c(x^{\prime },0)\frac{1}{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}Dt}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{)}^2}{4Dt}\right)d{x}^{\prime }.$$c(x,\;t)=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0)c_{f}(x-x',\;t)\,dx'=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}c(x',\;0){\frac {1}{{\sqrt {4\pi Dt}}}}\exp \left(-{\frac {(x-x')^{2}}{4Dt}}\right)\,dx'.$ 

Физические замечанияПравить

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнениеПравить

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

$-<!--\; -\; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->},D\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}))=f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}).$$-(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}}))=f({\vec {r}}).$ 

• При $D$$D$ , не зависящем от $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$$f=0$ ):

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=-<!--\; -\; -->\frac{f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})}{D},$$\Delta c({\vec {r}})=-{\frac {f({\vec {r}})}{D}},$ 

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})=0.$$\Delta c({\vec {r}})=0.$ 

Постановка краевых задачПравить

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$  и $t⩾<!--\; ⩾\; -->t_0$$t\geqslant t_{0}$ , удовлетворяющее условию $u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty <x<+\infty )$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  — заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty \leqslant x\leqslant +\infty$  и $t⩾<!--\; ⩾\; -->t_0$$t\geqslant t_{0}$ , удовлетворяющее условиям

$\left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0<x<\infty )\\u(0,\;t)=\mu (t),\quad (t\geqslant t_{0})\end{array}}\right.$ 

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(t)$$\mu (t)$  — заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->l$$0\leqslant x\leqslant l$  и $-\infty <t$ , удовлетворяющее условиям

$\{\begin{array}{l}u(0,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1(t),\\ u(l,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2(t),\end{array}$$\left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right.$ 

где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1(t)$$\mu _{1}(t)$  и ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2(t)$$\mu _{2}(t)$  — заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

$u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T$  — уравнение теплопроводности.

Если $f(x,t)=0$$f(x,\;t)=0$ , то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

$u(x,0)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x),0⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->l$$u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l$  — начальное условие в момент времени $t=0$$t=0$ , температура в точке $x$$x$  задается функцией $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ .

$\begin{array}{l}u(0,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1(t),\\ u(l,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2(t),\end{array}\}0⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->T$$\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T$  — краевые условия. Функции ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1(t)$$\mu _{1}(t)$  и ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2(t)$$\mu _{2}(t)$  задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$$l$  в любой момент времени $t$$t$ .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай (${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i^2\ne <!--\; \ne \; -->0,(i=1,2)$$\alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)$ ).

$\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{u}_x(0,t)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{1}u(0,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1(t),\\ {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{u}_x(l,t)+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{2}u(l,t)={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2(t).\end{array}$${\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{array}}$ 

Если ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i=0,(i=1,2)$$\alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)$ , то такое условие называют условием первого рода, если ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i=0,(i=1,2)$$\beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)$  — второго рода, а если ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\alpha_i$  и ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i$$\beta _{i}$  отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимумаПравить

Пусть функция $u(x,t)$$u(x,\;t)$  в пространстве $D\times <!--\; \times \; -->[0,T],D\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$D\times [0,\;T],\;D\in \mathbb{R} ^{n}$ , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->a^2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=0$${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0$ , причем $D$$D$  — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,t)$$u(x,\;t)$  может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$$D$ .