Боровская модель атома

Бо́ровская моде́ль а́тома (моде́ль Бо́ра, моде́ль Бо́ра — Резерфо́рда) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Эрнестом Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают энергию, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка: $m_{e}vr=n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$m_{e}vr=n\hbar \$.

Боровская модель водородоподобного атома (Z — заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии (hν).

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты $R_n$$R_n$ и энергии $E_n$$E_{n}$ находящегося на этой орбите электрона:

$R_n=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}{Z{e}^2}\frac{n^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{m_e};E_n=-<!--\; -\; -->\frac{1}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\frac{Z{e}^2}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\frac{1}{R_n};$$R_{n}=4\pi {\frac {\varepsilon _{0}}{Ze^{2}}}{\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{m_{e}}};\quad E_{n}=-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {Ze^{2}}{\varepsilon _{0}}}{\frac {1}{R_{n}}};$

Здесь $m_e$$m_e$ — масса электрона, $Z$$Z$ — количество протонов в ядре, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная, $e$$e$ — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера в задаче о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)⋅10⁻¹¹ м, ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты $E_0=-<!--\; -\; -->13.6$$E_{0}=-13.6$ эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория БораПравить

Основана на двух постулатах Бора:

• Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
• Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
  1. $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=E_{n2}-<!--\; -\; -->E_{n1},$$\varepsilon =E_{{n2}}-E_{{n1}},$  где $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\ \varepsilon$  — излучённая (поглощённая) энергия, $n_1,n_2$$\ n_{1},n_{2}$  — номера квантовых состояний. В спектроскопии $E_{n1}$$\ E_{{n1}}$  и $E_{n2}$$\ E_{{n2}}$  называются термами.
  2. Правило квантования момента импульса: $m\mathrm{\upsilon <!--\; \upsilon \; -->}r=n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->},$$\ m\upsilon r=n\hbar ,$  $n=1,2,\mathrm{3...}$$\ n=1,2,3...$ 

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

$r_n=a{n}^2,$$\ r_{n}=an^{2},$  $a=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{km{e}^2}=5.3\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->11}$$a={\frac {\hbar ^{2}}{kme^{2}}}=5.3\cdot 10^{{-11}}$  м — боровский радиус.

$E_n=-<!--\; -\; -->R_y\frac{1}{n^2},$$\ E_{n}=-R_{y}{\frac {1}{n^{2}}},$  $R_y=\frac{m{k}^2{e}^4}{2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}$$R_{y}={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}$  — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — ДиракаПравить

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

$\oint <!--\; \oint \; -->\mathbf{p}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{d}\mathbf{q}=\frac{W}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}=J$$\oint {\mathbf {p}}\cdot \,{\mathbf {dq}}={\frac {W}{\nu }}=J$ 

где $\mathbf{p},\mathbf{q}$${\mathbf {p}},{\mathbf {q}}$  — обобщённый импульс и координаты электрона, $W$$W$  — энергия, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой $pq$$pq$  — плоскости за один период движения, равна целому числу, умноженному на постоянную Планка $h$$h$  (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

$J_1=nh$$J_{1}=nh\$ , $J_2=kh$$J_{2}=kh\$ ,

где $n$$n$  определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона ($a$$a$ ), а $k$$k$  — его фокальный параметр $q$$q$ :

$a=a_0{n}^2$$a=a_{0}n^{2}\$ , $q=a_0{k}^2$$q=a_{0}k^{2}\$ .

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

$E=-<!--\; -\; -->\frac{Ry{Z}^2}{n^2}+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(n,k)$$E=-{\frac {RyZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k)$ .

где $Ry$$Ry$  — постоянная Ридберга, а $Z$$Z$  — порядковый номер атома (для водорода $Z=1$$Z=1$ ).

Дополнительный член $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(n,k)$$\epsilon (n,k)$  отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом $k$$k$ . Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния ($n=n_1,k=1,2,...,n_1$$n=n_{1},k=1,2,...,n_{1}$ ) и низшего состояния ($n=n_2,k=1,2,...,n_2$$n=n_{2},k=1,2,...,n_{2}$ ). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов ($H$$H$ , $H{e}^{+}$$He^{{+}}$  , $L{i}^{2+}$$Li^{{2+}}$ ), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия $H{e}^{+}$$He^{{+}}$  установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

$E+E_0=E_0{\left(1+\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{Z}^2}{{\left(n_r+\sqrt{n_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{Z}^2}\right)}^2}\right)}^{-<!--\; -\; -->1/2}$$E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{{-1/2}}$ ,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — постоянная тонкой структуры, $Z$$Z$  — порядковый номер атома, $E_0=m{c}^2$$E_{0}=mc^{2}$  — энергия покоя, $n_r$$n_{r}$  — радиальное квантовое число, а $n_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$n_{\phi }$  — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связано с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае $Z=1$$Z=1$  (атом водорода) величина расщепления близка к

$E/h\approx <!--\; \approx \; -->R{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2/n^2$$E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}$ 

Поскольку длина электромагнитной волны равна

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=c/\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=ch/E=c{n}^2/R{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2\approx <!--\; \approx \; -->0,17cm$$\lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm$ 

Поэтому для $n=2$$n=2$  это будет почти 1 см.

Достоинства теории БораПравить

• Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
• Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
• Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.

Недостатки теории БораПравить

• Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
• Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
• Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Экспериментальное подтверждение теории БораПравить

Основная статья: Опыт Франка — Герца

В 1914 году Франк и Герц поставили опыт, косвенно подтверждающий теорию Бора: атомы разреженного газа обстреливались медленными электронами с последующим исследованием распределения электронов по абсолютным значениям скоростей до и после столкновения. При упругом ударе распределение не должно меняться, так как изменяется только направление вектора скорости. Результаты показали, что при скоростях электронов меньше некоторого критического значения удары упруги, а при критической скорости столкновения становятся неупругими, электроны теряют энергию, а атомы газа переходят в возбуждённое состояние. При дальнейшем увеличении скорости удары снова становились упругими, пока не достигалась новая критическая скорость. Наблюдаемое явление позволило сделать вывод о том, что атом может или вообще не поглощать энергию, или же поглощать в количествах равных разности энергий стационарных состояний.

ЛитератураПравить

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд. — М.: Мир, 1967, 493 с.
• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985, 379 с.
• Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017, 246 с. ISBN 978-5-397-05872-8.