Теория Хорндески

Теория Хорндески — скалярно-тензорная теория гравитации наиболее общего вида (в четырёх измерениях), уравнения которой имеют второй порядок. Хотя теория была предложена Хорндески ещё в 1974 году, основной интерес к ней появился только в 2010-х в связи с исследованиями галилеонов. Помимо общей теории относительности, теория Хорндески включает множество скалярно-тензорных теорий, такие как квинтэссенция, дилатон, хамелеон, теория Бранса — Дикке, как свой частный случай.

ДействиеПравить

Действие для теории Хорндески может быть записано в виде

$S[g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}]=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{d}}^{4}x\sqrt{-<!--\; -\; -->g}\left[\underset{i=2}{\overset{5}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{G}_{\text{N}}}{\mathcal{L}}_i[g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}]+{\mathcal{L}}_{\text{m}}[g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_M]\right],$$S[g_{\mu \nu },\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left[\sum _{i=2}^{5}{\frac {1}{8\pi G_{\text{N}}}}{\mathcal {L}}_{i}[g_{\mu \nu },\phi ]\,+{\mathcal {L}}_{\text{m}}[g_{\mu \nu },\psi _{M}]\right],$ 

где

${\mathcal{L}}_2=G_2(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)$${\mathcal {L}}_{2}=G_{2}(\phi ,\,X)$ 

${\mathcal{L}}_3=G_3(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$${\mathcal {L}}_{3}=G_{3}(\phi ,\,X)\Box \phi$ 

${\mathcal{L}}_4=G_4(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)R+G_{4,X}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)\left[{\left(\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\right)}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\right]$${\mathcal {L}}_{4}=G_{4}(\phi ,\,X)R+G_{4,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{2}-\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\right]$ 

${\mathcal{L}}_5=G_5(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)G_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}{G}_{5,X}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},X)\left[{\left(\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\right)}^3+2{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->3{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\right]$${\mathcal {L}}_{5}=G_{5}(\phi ,\,X)G_{\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }-{\frac {1}{6}}G_{5,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{3}+2{\phi _{;\mu }}^{\nu }{\phi _{;\nu }}^{\alpha }{\phi _{;\alpha }}^{\mu }-3\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\Box \phi \right]$ 

Здесь $G_N$$G_{N}$  — гравитационная постоянная, $G_i$$G_{i}$  — произвольные функции скалярного поля $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  и $X\equiv <!--\; \equiv \; -->-<!--\; -\; -->1/2g^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{;\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$X\equiv -1/2g^{\mu \nu }\phi _{;\mu }\phi _{;\nu }$ , $R,G_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$R,G_{\mu \nu }$  — скаляр Риччи и тензор Эйнштейна, точка с запятой обозначает ковариантную производную, а просто запятая — частную производную.