Теория Линдхарда

Теория Линдхард — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в пpиближении случайной фазы.

Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса-Ферми это не что иное как длинноволновое приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного меньше, чем феpмиевский волновой вектор.

В этой статье используется система единиц СГС.

ФормулаПравить

Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{f_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->f_k}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})+E_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->E_k}.$$\epsilon (q,\omega )=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_{k}}}.$

Здесь $V_q$$V_{q}$  это $V_{eff}(q)-<!--\; -\; -->V_{ind}(q)$$V_{eff}(q)-V_{ind}(q)$  и $f_k$$f_{k}$  — функции распределения Ферми — Дирака (см. также статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.

Анализ формулы ЛиндхардПравить

Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3 измерениях. 1-мерным случае считается другим способом.

Трёхмерный случайПравить

Длинноволновой пределПравить

Во-первых, рассмотрим предельный длины волны ($q\to <!--\; \to \; -->0$$q\to 0$ ).

Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем

$E_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->E_k=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}(k^2-<!--\; -\; -->2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}+q^2)-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2}{2m}\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}$$E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}$ ,

и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем

$f_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->f_k=f_k-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{f}_k+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->f_k\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{f}_k$$f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}$ .

Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\end{alignedat}}$ ,

где мы использовали $E_k=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_k$$E_{k}=\hbar \omega _{k}$ , $V_q=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{q}^2{L}^3}$$V_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$  — фурье образ кулоновского потенциала, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{pl}^2=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}N}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{L}^{3}m}$$\omega _{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{\epsilon L^{3}m}}$ .

(В единицах СИ, замените фактор $4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$4\pi$  на $1/{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0$$1/\epsilon _{0}$ .)

Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.

Статический ПределПравить

Во-вторых, рассмотрим статический предел ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\omega +i\delta \to 0$ ). Формула Линдхарда принимает вид

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,0)=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{f_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->f_k}{E_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->E_k}$$\epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}$ .

Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,0)=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k,i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{-<!--\; -\; -->q_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}}{-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}}=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k,i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{q_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}}{\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}}$$\epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$ .

При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i{k}_i\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{m}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}$ 

здесь мы использовали ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2}{2m}$$\epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$  и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}_i}{m}$${\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ .

Поэтому

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}$ 

Здесь $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\sqrt{\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ .

Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся формулой

$V_s(q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{V_q}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0)}=\frac{\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{q}^2{L}^3}}{\frac{q^2+{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^2}{q^2}}=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{L}^3}\frac{1}{q^2+{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^2}$$V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}$ .

Преобразование Фурье-этой функции дает

$V_s(r)=\underset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{L}^3(q^2+{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^2)}{e}^{i\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}=\frac{e^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}r}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}r}$$V_{s}(r)=\sum _{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{\epsilon r}}e^{-\kappa r}$ 

известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое представляет собой сумму по всем $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}$${\vec {q}}$  мы использовали выражение для маленьких $|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}|$$|{\vec {q}}|$  для каждого значения $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}$${\vec {q}}$  что неправильно.

 

Статически экранированный потенциал(верхняя криволинейная поверхность) и потенциал кулона(нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях

Для вырожденного газа(Т=0), энергия Ферми определяется

$E_f=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}(3{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}n{)}^{\frac{2}{3}}$$E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}$ ,

так что плотность

$n=\frac{1}{3{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{\left(\frac{2m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{E}_f\right)}^{\frac{3}{2}}$$n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}$ .

При T=0, $E_f\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$E_{f}\equiv \mu$  таким образом $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{3}{2}\frac{n}{E_f}$${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}$ .

Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\sqrt{\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}=\sqrt{\frac{6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}n}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{E}_f}}$$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{f}}}}$ .

Это выражение соответствует формуле для волноыого вектора экранировки Томаса-Ферми.

Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай приводит к результату

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\sqrt{\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}n\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}}$$\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$ .

Двухмерный случайПравить

Длинноволновой пределПравить

Во-первых, найдём длинноволновой предел ($q\to <!--\; \to \; -->0$$q\to 0$ ).

Для знаменателя формулы Линдхард,

$E_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->E_k=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}(k^2-<!--\; -\; -->2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}+q^2)-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2}{2m}\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}$$E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}$ ,

и для числителя,

$f_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->f_k=f_k-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{f}_k+\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->f_k\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_k{f}_k$$f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}$ .

Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}$ 

где мы использовали $E_k=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k$$E_{k}=\hbar \epsilon _{k}$ , $V_q=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}q{L}^2}$$V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$  и ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{pl}^2(q)=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^{2}nq}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}m}$$\omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}$ .

Статический ПределПравить

Во-вторых, рассмотрим статический предел ($\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\omega +i\delta \to 0$ ). Формула Линдхарда запишется в виде

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,0)=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{f_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->f_k}{E_{k-<!--\; -\; -->q}-<!--\; -\; -->E_k}$$\epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}$ .

Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем

$\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,0)=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k,i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{-<!--\; -\; -->q_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}}{-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}}=1-<!--\; -\; -->V_q\underset{k,i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{q_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}}{\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{q}}{m}}$$\epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$ .

При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{q}_i{k}_i\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{m}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}$ 

здесь мы использовали ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}^2}{2m}$$\epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$  и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{k}_i}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2{k}_i}{m}$${\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$ .

Поэтому

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}$ 

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  — это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования) определяется как $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$ .

Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается

$V_s(q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{V_q}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(q,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0)}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}q{L}^2}\frac{q}{q+\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}{L}^2}\frac{1}{q+\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$$V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}$ .

Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(n,T)=\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\ln <!--\; \; -->(e^{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n/m}-<!--\; -\; -->1)$$\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}$ ,

и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}=\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{m}\frac{1}{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n/m}}$${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ .

Так, в 2D волновой вектор экранирования

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{e}^2}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}\frac{m}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n/m})=\frac{2m{e}^2}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{f}_{k=0}.$$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.$

Обратите внимание, что этот результат не зависит от N.

Одно ИзмерениеПравить

На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые располагаются очень близко к оси провода.

ЭкспериментПравить

В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки, даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования Томаса-Ферми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для K₂Рt(СN)₄Cl_0.32·2.6 Н₂0, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром варьируется как $e^{-<!--\; -\; -->k_{eff}r}/r$$e^{-k_{eff}r}/r$  и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для металлической платины.

Список литературыПравить

• Haug, Hartmut. Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.) (англ.). — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004. — ISBN 981-238-609-2.
• Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении, физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973)