Теория Кирхгофа — Лява

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическая модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

Деформация тонкой пластины с выделенным смещением срединной поверхности (красный) и нормали к срединной поверхности (синий)

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации;
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации;
• и толщина пластины не изменяется при деформации.

Предполагаемые перемещения/смещенияПравить

Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$ . Тогда его можно разложить

$\mathbf{x}=x_1{\mathit{e}}_1+x_2{\mathit{e}}_2+x_3{\mathit{e}}_3\equiv <!--\; \equiv \; -->x_i{\mathit{e}}_i.$$\mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.$ 

Векторы ${\mathit{e}}_i$${\boldsymbol {e}}_{i}$  образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, $x_1$$x_{1}$  а также $x_2$$x_{2}$  — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а $x_3$$x_{3}$  — координата направленная вдоль толщины.

Пусть смещение точки на пластине равно $\mathbf{u}(\mathbf{x})$$\mathbf {u} (\mathbf {x} )$ . Тогда

$\mathbf{u}=u_1{\mathit{e}}_1+u_2{\mathit{e}}_2+u_3{\mathit{e}}_3\equiv <!--\; \equiv \; -->u_i{\mathit{e}}_i$$\mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$ 

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности $u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0$$u_{\alpha }^{0}$  и смещение вне плоскости $w^0$$w^{0}$  в направлении $x_3$$x_{3}$ . Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как

${\mathbf{u}}^0=u_1^0{\mathit{e}}_1+u_2^0{\mathit{e}}_2\equiv <!--\; \equiv \; -->u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0{\mathit{e}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }$ 

Обратите внимание, что индекс $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  пробегает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

${\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}$

Если ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\varphi _{\alpha }$  — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=w_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0$$\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}$ 

Обратите внимание, что выражение для $u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$u_{\alpha }$  представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.

 

Смещение срединной поверхности (слева) и нормали к ней (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа — ЛяваПравить

Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.

Соотношения деформация-смещениеПравить

Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}$ 

где $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1,2$$\beta =1,2$  как и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  .

Используя кинематические предположения, получим

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Уравнения равновесияПравить

Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке $q(x)$$q(x)$  эти уравнения имеют вид

${\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q\end{aligned}}$ 

где толщина пластины $2h$$2h$ . В индексной записи

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}$

где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\sigma _{{\alpha \beta }}$  — механические напряжения.

Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Моменты и напряжения сдвига

Bending moments and normal stresses

Torques and shear stresses

Вывод уравнения равновесия для малых вращений

Для ситуации, когда напряжения и вращения пластины малы, вариация внутренняя энергия записывается в виде ${\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}$  где толщина пластины $2h$$2h$  и усилия и моменты определяются как $N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}d{x}_3;M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{x}_3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}d{x}_3$$N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}$  Интегрирование по частям приводит к ${\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}$  Симметрия тентора напряжений подразумевает, что $N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=N_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$ . Отсюда $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[-<!--\; -\; -->N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^0}\left[n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{N}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0-<!--\; -\; -->n_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]d\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma$  Проинтегрируем по частям ещё раз $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[-<!--\; -\; -->N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0-<!--\; -\; -->M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right]d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}+{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^0}\left[n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{N}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0-<!--\; -\; -->n_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]d\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma$  В случае, отсутствия внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что вариация $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U=0$$\delta U=0$ . Уравнения равновесия для пластины задаются ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}$  Если пластина испытывает внешнюю распределенную нагрузку $q(x)$$q(x)$ , которая направлена по нормали к срединной плоскости и напрвлена вдоль направления $x_3$$x_{3}$ , то внешняя виртуальная работа из-за нагрузки $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}q\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^{0}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~d\Omega$  Принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}$

Граничные условияПравить

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

${\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}$ 

Обратите внимание, что $n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$  — это эффективная сила сдвига.

Материальные соотношенияПравить

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид

${\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}$ 

поскольку ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}3}$$\sigma _{\alpha 3}$ , а также ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{33}$$\sigma_{33}$  не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$ 

Тогда

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$ 

и

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$ 

Жесткости — это величины

$A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{C}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}d{x}_3$$A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}$ 

Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб) — это величины

$D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{x}_3^2{C}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}d{x}_3$$D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}$ 

Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению

$Q_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=-<!--\; -\; -->D\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{w}^0).$$Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.$ 

В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как

$Q_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathcal{M}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }$ 

где

$\mathcal{M}:=-<!--\; -\; -->D{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{w}^0.$${\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.$ 

Малые деформации и умеренные вращенияПравить

Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10${}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$^{\circ }$  до 15${}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$^{\circ }$ , то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}$ 

Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.

${\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}$ 

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}$ 

Изотропные квазистатические пластинки Кирхгофа — ЛяваПравить

В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$ 

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — коэффициент Пуассона и $E$$E$  модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$ 

или в развернутом виде

${\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}$ 

где $D=2h^{3}E/[3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)]=H^{3}E/[12(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)]$$D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]$  для пластин толщиной $H=2h$$H=2h$ . Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{11}=\frac{3x_3}{2h^3}{M}_{11}=\frac{12x_3}{H^3}{M}_{11}\text{and}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{22}=\frac{3x_3}{2h^3}{M}_{22}=\frac{12x_3}{H^3}{M}_{22}.$$\sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.$ 

В верхней поверхности пластины, где $x_3=h=H/2$$x_{3}=h=H/2$ , напряжения

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{11}=\frac{3}{2h^2}{M}_{11}=\frac{6}{H^2}{M}_{11}\text{and}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{22}=\frac{3}{2h^2}{M}_{22}=\frac{6}{H^2}{M}_{22}.$$\sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.$ 

Чистый изгибПравить

Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^4{w}^0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^4}+2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^4{w}^0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^4{w}^0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^4}=0.$${\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.$ 

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$ . В индексной записи

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=0$$w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0$ 

и в прямой записи

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=0$$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$

которое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются выражением

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$ 

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба

Для изотропных, однородных пластин под действием чистого изгиба основные уравнения ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\implies N_{11,1}+N_{21,2}=0~,~~N_{12,1}+N_{22,2}=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=0\end{aligned}}$  и соотношения напряжения-деформации ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$  Тогда ${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}$  и ${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}$  Дифференцирование приводит к ${\begin{aligned}N_{11,1}&={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}\right)~;~~N_{22,2}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}\right)\\N_{12,1}&={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)~;~~N_{12,2}={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)\end{aligned}}$  и ${\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}^{0}\end{aligned}}$  Подставим результат в основные уравнение, получим ${\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)=0\\&\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)=0\\&w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}+2(1-\nu )~w_{,1212}^{0}+\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}$  Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то $u_{1,12}^0=u_{1,21}^0$$u_{1,12}^{0}=u_{1,21}^{0}$ , $u_{2,21}^0=u_{2,12}^0$$u_{2,21}^{0}=u_{2,12}^{0}$ , и$w_{,2211}^0=w_{,1212}^0=w_{,1122}^0$$w_{,2211}^{0}=w_{,1212}^{0}=w_{,1122}^{0}$ . Отсюда ${\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{1,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{2,12}^{0}=0\\&u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{2,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{1,12}^{0}=0\\&w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}$  В прямой тензорной нотации, основное уравнение для пластины ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=0$$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0$  где мы предположили, что перемещения $u_1^0,u_2^0$$u_{1}^{0},u_{2}^{0}$  постоянны.

Изгиб под действием поперечной нагрузкиПравить

Если распределенная поперечная нагрузка $-<!--\; -\; -->q(x)$$-q(x)$  применяется к пластине, то определяющее уравнение $M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=-<!--\; -\; -->q$$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q$  . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаем

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=\frac{q}{D};D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)}$$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=-<!--\; -\; -->\frac{q}{D}$$w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\cfrac {q}{D}}$ 

а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right)\right\}\right]=-<!--\; -\; -->\frac{q}{D}.$${\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.$ 

Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин.

Вывод уравнений равновесия для поперечной нагрузки

Для поперечно нагруженной пластины без аксиальных деформаций, основное уравнение примет вид $M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=q⟹<!--\; ⟹\; -->M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q$$M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q$  где $q$$q$  распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Замена выражений на производные $M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$M_{\alpha \beta }$  в основном уравнении приводит к $-<!--\; -\; -->\frac{2h^{3}E}{3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)}\left[w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0\right]=q.$$-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left[w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}\right]=q\,.$  Используя для изгибной жёсткости выражение $D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)}$$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$  запишем основное уравнение в виде ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=-<!--\; -\; -->\frac{q}{D}.$$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.$  В цилиндрических координатах $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},z)$$(r,\theta ,z)$ , ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{r}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\left(r\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}.$$\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.$  Для аксиально-симметричной нагрузки и круглых пластин, $w=w(r)$$w=w(r)$ , тогда ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right).$$\nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.$

Цилиндрический изгибПравить

При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда $u_1=u_1(x_1),u_2=0,w=w(x_1)$$u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})$ . В таком случае

${\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}$ 

а также

${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}$ 

и определяющие уравнения становятся к

${\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}$ 

Динамика пластин Кирхгофа — ЛяваПравить

Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.

Основные уравненияПравить

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

где для пластины с плотностью $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x)$$\rho =\rho (x)$  ,

$J_1:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}d{x}_3=2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h;J_3:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{x}_3^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}d{x}_3=\frac{2}{3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{h}^3$$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}$ 

а также

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t};{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}}_i=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2};u_{i,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}};u_{i,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$ 

Вывод уравнений, регулирующих динамику пластин Кирхгофа — Лява

Полная кинетическая энергия пластины $K={\int <!--\; \int \; -->}_0^T{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{2}\left[{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)}^2\right]\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$$K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$  Таким образом, вариация кинетической энергии $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K={\int <!--\; \int \; -->}_0^T{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{2}\left[2\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)+2\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)+2\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)\right]\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$$\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$  Тут мы используем следующую нотацию ${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t};{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}}_i=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2};u_{i,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}};u_{i,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$${\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}$  Тогда $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K={\int <!--\; \int \; -->}_0^T{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left({\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_3\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_3\right)\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$$\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$  Для пластин Кирхгофа — Лява $u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0-<!--\; -\; -->x_3{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0;u_3=w^0$$u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}$  Отсюда ${\begin{aligned}\delta K&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}$  Определим для постоянной по толщине $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  $J_1:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}d{x}_3=2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h;J_2:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{x}_3\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}d{x}_3=0;J_3:={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->h}^h{x}_3^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}d{x}_3=\frac{2}{3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{h}^3$$J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}$  Тогда $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K={\int <!--\; \int \; -->}_0^T{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[J_1\left({\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0+{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}^0\right)+J_3{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]\mathrm{d}A\mathrm{d}t$$\delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t$  Интегрирование по частям даёт $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[{\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left\{-<!--\; -\; -->J_1\left({\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right)-<!--\; -\; -->J_3{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right\}\mathrm{d}t+{\left|J_1\left({\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0+{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right)+J_3{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right|}_0^T\right]\mathrm{d}A$$\delta K=\int _{\Omega ^{0}}\left[\int _{0}^{T}\left\{-J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right\}~\mathrm {d} t+\left|J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right|_{0}^{T}\right]~\mathrm {d} A$  Вариации $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0$$\delta u_{\alpha }^{0}$  и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0$$\delta w^{0}$  равны нулю при $t=0$$t = 0$  и $t=T$$t=T$ . Таким образом, после перемены последовательности интегрирования $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[J_1\left({\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right)+J_3{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]\mathrm{d}A\right\}\mathrm{d}t+{\left|{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}{J}_3{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{d}A\right|}_0^T$$\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A\right\}~\mathrm {d} t+\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\mathrm {d} A\right|_{0}^{T}$  Интеграция по частям в срединной поверхности даёт ${\begin{aligned}\delta K&=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t\\&\qquad -\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right|_{0}^{T}\end{aligned}}$  Опять же, поскольку вариации остаются нулевыми в начале и в конце промежутка времени, то $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[J_1\left({\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{u}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right)-<!--\; -\; -->J_3{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right]\mathrm{d}A+{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^0}{J}_3{n}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\mathrm{d}s\right\}\mathrm{d}t$$\delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t$  Для динамического случая вариация внутренней энергии $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right]\mathrm{d}A-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^0}\left[n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{N}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0-<!--\; -\; -->n_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^0\right]\mathrm{d}s\right\}\mathrm{d}t$$\delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t$  Интеграция по частям и предположение о нулевой вариации на границе срединной поверхности дает $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left\{{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}\left[N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right]\mathrm{d}A-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^0}\left[n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{N}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{u}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+n_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0+n_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\right]\mathrm{d}s\right\}\mathrm{d}t$$\delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}+n_{\beta }~M_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t$  Если имеется внешняя распределенная сила $q(x,t)$$q(x,t)$  действуя по нормали к поверхности пластины, то виртуальная внешняя работа $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}={\int <!--\; \int \; -->}_0^T\left[{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^0}q(x,t)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}^0\mathrm{d}A\right]\mathrm{d}t$$\delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{0}^{T}\left[\int _{\Omega ^{0}}q(x,t)~\delta w^{0}~\mathrm {d} A\right]\mathrm {d} t$  Из принципа виртуальной работы $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{V}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}K$$\delta U+\delta V_{\mathrm {ext} }=\delta K$ . Таким образом, основные уравнения баланса для пластины ${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}$

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.

•  

  режим k = 0, p = 1

•  

  режим k = 0, p = 2

•  

  режим k = 1, p = 2

Изотропные пластиныПравить

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

$D\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^4}+2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^4}\right)=-<!--\; -\; -->q(x,y,t)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}.$$D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.$ 

где $D$$D$  — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной $2h$$2h$  ,

$D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)}.$$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.$ 

В прямой записи

$D{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=-<!--\; -\; -->q(x,y,t)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}.$$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.$ 

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

$D{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}.$$D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.$ 

Вывод динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа — Лява

Для изотропной и однородной пластины, соотношения напряжения-деформации ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.$  где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$\varepsilon _{\alpha \beta }$  задаются в плоскости пластины. Соотногения деформации-перемещения в теории Кирхгофа — Лява ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{1}{2}(u_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}+u_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})-<!--\; -\; -->x_3{w}_{,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}.$$\varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.$  Таким образом, в результирующие моменты, соответствующие этим перемещениям ${\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}$  Основные уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины $2h$$2h$  при отсутствии перемещений в срединной плоскости $M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}-<!--\; -\; -->q(x,t)=2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{h}^3\left({\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,11}+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,22}+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,33}\right).$$M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}-q(x,t)=2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.$  Дифференциация выражений для моментов даёт ${\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}\end{aligned}}$  Подставление в основные уравнения приходим к ${\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}+2(1-\nu )~w_{,1212}+\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)=\\&q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}$  Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то $w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}$$w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}$ . Отсюда ${\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=\\&q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}$  Если жёсткость пластины определим как $D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2)}$$D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}$  то $D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-<!--\; -\; -->q(x,t)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}+\frac{2}{3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{h}^3\left({\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,11}+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,22}+{\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}}_{,33}\right).$$D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}+{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.$  Для небольших деформаций, мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, тогда $D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-<!--\; -\; -->q(x,t)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}.$$D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.$  Тошда в прямой тенсорной нотации, основное уравнение для пластин $D{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{2}w=-<!--\; -\; -->q(x,y,t)-<!--\; -\; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}h\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{w}.$$D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.$