Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля $\mathbf{F}(\mathbf{r})$${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля ${\mathbf{F}}_1(\mathbf{r})$${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ и соленоидального поля ${\mathbf{F}}_2(\mathbf{r})$${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$: $\mathbf{F}(\mathbf{r})={\mathbf{F}}_1(\mathbf{r})+{\mathbf{F}}_2(\mathbf{r}),$${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}}),$ где $\mathrm{rot}{\mathbf{F}}_1(\mathbf{r})=0,$$\operatorname {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,$ $\mathrm{div}{\mathbf{F}}_2(\mathbf{r})=0$$\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0$ для всех точек $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$ области V.

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде: $\mathbf{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}$$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}$ где $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}=0$$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Скалярная функция $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ называется скалярным потенциалом, векторная функция $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ называется векторным потенциалом..

Формулировка теоремыПравить

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r, в случае неограниченной области. Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

$\mathbf{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathcal{G}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}))+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathcal{G}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F})),$${\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}}))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})),$ 

где $\mathcal{G}$${\mathcal {G}}$  — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным, или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

$\mathbf{F}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathcal{G}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F})=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}.$${\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.$ 

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

$\mathbf{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathcal{G}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F})=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}.$${\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .$ 

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

$\mathbf{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}$${\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}$ ,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенциейПравить

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$    и векторное поле   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$ ,   что

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}=\mathbf{d}$$\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}$       и      $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F}=\mathbf{C}.$$\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.$ 

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}){|}_S=\mathbf{g}(\mathbf{S})$$({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$    для вектор-функции $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ .

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}){|}_S=\mathbf{g}(\mathbf{S})$$({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$    для вектор-функции $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ , и на вектор-функцию $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{2+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$ .

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{2+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$ .

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решенияПравить

Задача имеет решение не при всех   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ,   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$    и   $\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}$${\mathbf {g(S)}}$   :

1. Из тождества   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F}\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$    следует, что должно быть выполнено условие   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{C}=0$$\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ,   то есть дивергенция вектора   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$    обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества   ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F})dV={\iint <!--\; \iint \; -->}_S(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F})dS$$\iiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})\,dS$    следует, что   ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\mathbf{d}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{)}dV={\iint <!--\; \iint \; -->}_S\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}dS$$\iiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)}}\,dS$ ,   то есть интеграл от краевого условия   $\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}$${\mathbf {g(S)}}$    по ограничивающей поверхности   $\mathbf{S}$$\mathbf {S}$    должен быть равен интегралу от функции   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$    по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   $\mathbf{d}$$\mathbf{d}$     и     $\mathbf{C}$${\mathbf {C}}$    должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решенияПравить

A. Внутренняя задача: если

1. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{)}=0$$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$    и  
2. ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\mathbf{d}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{)}dV={\iint <!--\; \iint \; -->}_S\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}dS$$\iiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)}}\,dS$ ,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$    по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$    и граничному условию   $\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}$${\mathbf {g(S)}}$    существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

1. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{)}=0$$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$    и  
2. интегралы ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{d}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$\iiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|}}\,dV'$    и   ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{C}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$\iiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|}}\,dV'$    сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf{r}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$${\mathbf {r}}\to \infty$    по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$ ,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$    по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ,   граничному условию   $\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}$${\mathbf {g(S)}}$    и условию, что   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$    спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{2+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$ ,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

1. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{)}=0$$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$    и  
2. интегралы ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{d}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$\iiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|}}\,dV'$    и   ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{C}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}d{V}^{\prime }$$\iiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|}}\,dV'$    сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf{r}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$${\mathbf {r}}\to \infty$    по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$ ,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$    по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$    и условию, что   $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$    спадает на бесконечности по крайней мере как   ${\mathbf{1}\mathbf{/}\mathbf{r}}^{2+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$ ,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поляПравить

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля $\mathbf{F}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)$  на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1. Для заданной вектор-функции $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  вычисляются: функция $\mathbf{C}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F}$${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$  функция $\mathbf{d}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}$${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ , краевое условие $\mathbf{g}(\mathbf{S})=(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}){|}_S$${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ , если вектор-функция $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  задана для подобласти пространства ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  с границей $S$$S$ .
2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F})dV\equiv <!--\; \equiv \; -->{\iint <!--\; \iint \; -->}_S(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F})dS$$\iiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})\,dS$ , следует условие совместности ${\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\mathbf{d}(x,y,z)dV={\iint <!--\; \iint \; -->}_S\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}dS$$\iiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)}}\,dS$ . Поэтому все условия совместности входных данных для задачи $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}=\mathbf{d}$$\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$  и $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}=0$$\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}=0$  с краевым условием $\mathbf{g}(\mathbf{S})$${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$  выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}$${\mathbf {F_{1}}}$  является безвихревым полем.
3. Поскольку $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{C}=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F}\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ , условия совместности входных данных для задачи $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_2=0$$\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$  и $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_2=\mathbf{C}$$\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$  с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция ${\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}$${\mathbf {F_{2}}}$  является соленоидальным полем.
4. Рассмотрим задачу $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_3=\mathbf{d}$$\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ , $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_3=\mathbf{C}$$\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$  с краевым условием $\mathbf{g}(\mathbf{S})$${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ . Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$ , а с другой стороны, решением этой же задачи является функция ${\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_2$$\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$ . Значит, $\mathbf{F}\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_2$$\mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$ , искомое представление поля $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенцииПравить

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции   $\mathbf{d}(x,y,z)$${\mathbf {d}}(x,y,z)$    вычисляется функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathbf{U}$${\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}$ ,   где скалярный потенциал   $\mathbf{U}(x,y,z)$${\mathbf {U}}(x,y,z)$    вычисляется по формуле

  $\mathbf{U}(x,y,z)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{d}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{\sqrt{(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{)}^2+(y-<!--\; -\; -->y^{\prime }{)}^2+(z-<!--\; -\; -->z^{\prime }{)}^2}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$${\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}}dx'dy'dz'$ .  

В результате получается функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)$ ,   у которой   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)=\mathbf{d}(x,y,z)$$\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)$    и   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)=0$$\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0$ ;  

2) Для заданной функции   $\mathbf{C}(x,y,z)$${\mathbf {C}}(x,y,z)$    вычисляется функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}$${\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}$ ,   где векторный потенциал   $\mathbf{A}(x,y,z)$${\mathbf {A}}(x,y,z)$    вычисляется по формуле

  $\mathbf{A}(x,y,z)=+\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}_V\frac{\mathbf{C}(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}{\sqrt{(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }{)}^2+(y-<!--\; -\; -->y^{\prime }{)}^2+(z-<!--\; -\; -->z^{\prime }{)}^2}}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }$${\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}}dx'dy'dz'$ .  

В результате получается функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$ ,   у которой   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)=0$$\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0$    и   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)=\mathbf{C}(x,y,z)$$\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)$ ;  

3) Ищется функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ,   у которой   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)=0$$\nabla \cdot {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0$ ,     $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)=0$$\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0$ ,   а нормальная проекция на границе области   $(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}){|}_S$$({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}$    выбрана таким образом, чтобы   $\mathbf{F}={\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}+{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}+{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}$${\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}$    удовлетворяла граничному условию   $(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}){|}_S=\mathbf{g}(\mathbf{S})$$({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ .  

Чтобы найти такую функцию   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ,   делается подстановка   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathbf{H}$${\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}$ ,   где скалярный потенциал   $\mathbf{H}(x,y,z)$${\mathbf {H}}(x,y,z)$    должен удовлетворять уравнению Лапласа   $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{H}=0$$\Delta {\mathbf {H}}=0$ .   Для функции   $\mathbf{H}(x,y,z)$${\mathbf {H}}(x,y,z)$    получается краевое условие Неймана   ${\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{n}}|}_S=\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{)}-<!--\; -\; -->(\mathbf{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}))$$\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)}}-({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))$ ,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция   $\mathbf{H}(x,y,z)$${\mathbf {H}}(x,y,z)$    всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$    всегда существует и единственна.

Функция   $\mathbf{F}(x,y,z)={\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)+{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)+{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$    является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   $\mathbf{F}(x,y,z)={\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)+{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)+{\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ,   где   ${\mathbf{F}}_{\mathbf{3}}(x,y,z)$${\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   $\mathbf{F}(x,y,z)={\mathbf{F}}_{\mathbf{1}}(x,y,z)+{\mathbf{F}}_{\mathbf{2}}(x,y,z)$${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$ ,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы ГельмгольцаПравить

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{F}=d$$\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d$    и   $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F}=\mathbf{C}.$$\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.$ 

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно. В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

$\mathbf{F}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathcal{G}(d))+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathcal{G}(\mathbf{C})).$${\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).$ 

См. такжеПравить

• Векторное поле
• Векторный анализ
• Формулы векторного анализа
• Соленоидальное векторное поле

ЛитератураПравить

• Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 177.
• Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — 296 с.