Теорема о сумме углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии.

Треугольник

ФормулировкаПравить

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.^[1]

ДоказательствоПравить

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta ABC$ — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

СледствияПравить

В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
В прямоугольном треугольнике оба угла при гипотенузе — острые.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° — 90°) /2 = 45°.
В равностороннем треугольнике все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
(Теорема о внешнем угле треугольника) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним^[2].

Вариации и обобщенияПравить

МногоугольникиПравить

Обобщение для симплексовПравить

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L_{ij}$ — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

\text{[math]}

{\begin{vmatrix}1&-\cos L_{12}&-\cos L_{13}&\dots &-\cos L_{1(n+1)}\\-\cos L_{21}&1&-\cos L_{23}&\dots &-\cos L_{2(n+1)}\\-\cos L_{31}&-\cos L_{32}&1&\dots &-\cos L_{3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\-\cos L_{(n+1)1}&-\cos L_{(n+1)2}&-\cos L_{(n+1)3}&\dots &1\\\end{vmatrix}}=0

.

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n+1$ вектор в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

В неевклидовых геометрияхПравить

Сферический треугольник

Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. Можно показать, что любое доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии (абсолютная геометрия)^[3].

Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:

На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

ПримечанияПравить

↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 81.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 421.
↑ Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. — М.: Мир, 1989. — С. 255—256. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.

ЛитератураПравить

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

[1] Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 81.

[_01f1e9deb899fbda-2] Элементарная математика, 1976, с. 421.

[3] Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. — М.: Мир, 1989. — С. 255—256. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.

[1]

[2]

[3]