Теорема о повороте плоской кривой

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.

ФормулировкаПравить

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен $\pm <!--\; \pm \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pm 2{\cdot }\pi$ . Причём он равен $+2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$+2{\cdot }\pi$ , если ограниченная область лежит слева от кривой и $-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-2{\cdot }\pi$  в противоположном случае.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

ЗамечанияПравить

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен $2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2{\cdot}\pi$ . По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от $\pm <!--\; \pm \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pm 2{\cdot }\pi$  должна иметь самопересечения.

ЛитератураПравить

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.