Теорема о двойном пузыре

Теорема о двойном пузыре гласит, что стандартный двойной пузырь (то есть три сферические шапки, сходящиеся под углом 120° на общей граничной окружности) имеет минимальную площадь среди всех плёнок, охватывающих и разделяющих два данных объема.

Двойной пузырь

Доказательство сочетает в себе несколько ингредиентов. Компактность спрямляемых потоков (обобщенных поверхностей) показывает, что решение существует. Симметрия используется для доказательства, что решение должно быть поверхностью вращения, и имеете ограниченное число гладких кусков. Далее доказывается, что среди поверхностей вращения только стандартный двойной пузырь имеет локально минимальную площадь.

Теорема о двойном пузыре обобщает изопериметрическое неравенство, согласно которому оболочка с минимальным периметром любой области представляет собой круг, а оболочка с минимальной площадью поверхности любого отдельного объема представляет собой сферу.

ИсторияПравить

Трёхмерное изопериметрическое неравенство, согласно которому сфера имеет минимальную площадь поверхности для своего объема, было сформулировано Архимедом, и было строго доказано Германом Шварцем в 19 веке. В 19 веке Джозеф Плато изучал двойной пузырь, и истинность теоремы о двойном пузыре была принята без доказательства.

К 1989 году проблема двойного пузыря стала популярной.^[1] В 1991 году Джоэл Фойзи, студент бакалавриата Уильямс-колледжа, был лидером команды студентов, которые доказали двумерный аналог гипотезы о двойном пузыре.^[2]^[3] В своей студенческой диссертации Фойзи был первым, кто сформулировал гипотезу о трёхмерном двойном пузыре.^[4]

Доказательство в случае двух равных объёмов было получено Джоэлом Хассом и Роджером Шлафли в 1995 году и опубликовано в 2000 году.^[5]^[6] Доказательство общей гипотезы получено Хатчингсом, Морганом, Риторе и Роса в 2000 году и опубликовано в 2002.^[7]^[4]^[8] После более ранней работы над четырёхмерным случаем ^[9] обобщение на высшие размерности было опубликовано Рейхардтом в 2008 году ^[10], а в 2014 году Лоулор опубликовал другое доказательство.^[1]

Вариации и обобщенияПравить

Двойные пузыри на плоскости.

Джон М. Салливан предположил, что для любой размерности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d$ минимальное плёнка ограничивающая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d+1$ данных объёмов (не обязательно равных) имеет форму стереографической проекции симплекса.^[11] В частности, в этом случае все границы между пузырьками были бы участками сфер. Частный случай этой гипотезы для трёх пузырей в двух измерениях был доказан; в этом случае три пузырька образованы шестью дугами окружности и прямыми отрезками, встречающимися в том же комбинаторном порядке, что и ребра тетраэдра.

Для бесконечного числа равных областей на плоскости набором кривых минимальной длины, разделяющих эти области, является шестиугольный паркет, известный по пчелиным сотам. Oптимальность (гипотеза сот) была доказана Т. К. Хейлзом в 2001 году.^[12] Для той же задачи в трёх измерениях оптимальное решение неизвестно; лорд Кельвин предположил, что оно было дано структурой, комбинаторно эквивалентной усеченным кубическим сотам, но эта гипотеза была опровергнута открытием структуры Вейра — Фелана, разделения пространства на ячейки равного объема двух разных форм с использованием меньшей средней площади поверхности на ячейку.^[13]

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Lawlor, Gary R. (2014), Double bubbles for immiscible fluids in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , Journal of Geometric Analysis Т. 24 (1): 190–204, DOI 10.1007/s12220-012-9333-1
↑ Foisy, Joel; Alfaro Garcia, Manuel; Brock, Jeffrey Farlowe & Hodges, Nickelous (1993), The standard double soap bubble in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{2}$ uniquely minimizes perimeter, Pacific Journal of Mathematics Т. 159 (1): 47–59, DOI 10.2140/pjm.1993.159.47
↑ Morgan, Frank (2004), Proof of the double bubble conjecture, in Hardt, Robert, Six Themes on Variation, vol. 26, Student Mathematical Library, American Mathematical Society, с. 59–77, DOI 10.1090/stml/026/04 ; revised version of an article initially appearing in the American Mathematical Monthly (2001), doi:10.1080/00029890.2001.11919741, JSTOR 2695380, MR: 1834699
↑ ¹ ² Devlin, Keith (22 March 2000), Blowing out the bubble reputation: Four mathematicians have just cleaned up a long-standing conundrum set by soapy water, The Guardian, <https://www.theguardian.com/science/2000/mar/23/technology1>
↑ Peterson, Ivars (August 12, 1995), Toil and trouble over double bubbles, Science News Т. 148 (7): 101–102, doi:10.2307/3979333, <http://www.sciencenews.org/pages/pdfs/data/1995/148-07/14807-04.pdf>
↑ Hass, Joel & Schlafly, Roger (2000), Double bubbles minimize, Annals of Mathematics, 2nd Ser. Т. 151 (2): 459–515, DOI 10.2307/121042 ; previously announced in Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 1995, doi:10.1090/S1079-6762-95-03001-0
↑ Hutchings, Michael; Morgan, Frank; Ritoré, Manuel & Ros, Antonio (2002), Proof of the double bubble conjecture, Annals of Mathematics, 2nd Ser. Т. 155 (2): 459–489, DOI 10.2307/3062123
↑ Cipra, Barry A. (March 17, 2000), Mathematics: Why Double Bubbles Form the Way They Do, Science Т. 287 (5460): 1910–1912, doi:10.1126/science.287.5460.1910a, <http://math.berkeley.edu/~hutching/pub/db2ann/science_article.html>
↑ Reichardt, Ben W.; Heilmann, Cory; Lai, Yuan Y. & Spielman, Anita (2003), Proof of the double bubble conjecture in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{4}$ and certain higher dimensional cases, Pacific Journal of Mathematics Т. 208 (2): 347–366, DOI 10.2140/pjm.2003.208.347
↑ Reichardt, Ben W. (2008), Proof of the double bubble conjecture in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , Journal of Geometric Analysis Т. 18 (1): 172–191, DOI 10.1007/s12220-007-9002-y
↑ Sullivan, John M. (1999), The geometry of bubbles and foams, in Sadoc, Jean-François & Rivier, Nicolas, Foams and Emulsions: Proc. NATO Advanced Study Inst. on Foams and Emulsions, Emulsions and Cellular Materials, Cargèse, Corsica, 12–24 May, 1997, vol. 354, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. E Appl. Sci., Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., с. 379–402, DOI 10.1007/978-94-015-9157-7_23
↑ Hales, Thomas C. (2001), The honeycomb conjecture, Discrete and Computational Geometry Т. 25 (1): 1–22, DOI 10.1007/s004540010071
↑ Weaire, Denis & Phelan, Robert (1994), A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces, Philosophical Magazine Letters Т. 69 (2): 107–110, DOI 10.1080/09500839408241577

[lawlor-1] ¹ ² Lawlor, Gary R. (2014), Double bubbles for immiscible fluids in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , Journal of Geometric Analysis Т. 24 (1): 190–204, DOI 10.1007/s12220-012-9333-1

[abfhz93-2] Foisy, Joel; Alfaro Garcia, Manuel; Brock, Jeffrey Farlowe & Hodges, Nickelous (1993), The standard double soap bubble in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{2}$ uniquely minimizes perimeter, Pacific Journal of Mathematics Т. 159 (1): 47–59, DOI 10.2140/pjm.1993.159.47

[m04-3] Morgan, Frank (2004), Proof of the double bubble conjecture, in Hardt, Robert, Six Themes on Variation, vol. 26, Student Mathematical Library, American Mathematical Society, с. 59–77, DOI 10.1090/stml/026/04 ; revised version of an article initially appearing in the American Mathematical Monthly (2001), doi:10.1080/00029890.2001.11919741, JSTOR 2695380, MR: 1834699

[guardian-4] ¹ ² Devlin, Keith (22 March 2000), Blowing out the bubble reputation: Four mathematicians have just cleaned up a long-standing conundrum set by soapy water, The Guardian, <https://www.theguardian.com/science/2000/mar/23/technology1>

[scinews-5] Peterson, Ivars (August 12, 1995), Toil and trouble over double bubbles, Science News Т. 148 (7): 101–102, doi:10.2307/3979333, <http://www.sciencenews.org/pages/pdfs/data/1995/148-07/14807-04.pdf>

[hs00-6] Hass, Joel & Schlafly, Roger (2000), Double bubbles minimize, Annals of Mathematics, 2nd Ser. Т. 151 (2): 459–515, DOI 10.2307/121042 ; previously announced in Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 1995, doi:10.1090/S1079-6762-95-03001-0

[hmrr02-7] Hutchings, Michael; Morgan, Frank; Ritoré, Manuel & Ros, Antonio (2002), Proof of the double bubble conjecture, Annals of Mathematics, 2nd Ser. Т. 155 (2): 459–489, DOI 10.2307/3062123

[cipra-8] Cipra, Barry A. (March 17, 2000), Mathematics: Why Double Bubbles Form the Way They Do, Science Т. 287 (5460): 1910–1912, doi:10.1126/science.287.5460.1910a, <http://math.berkeley.edu/~hutching/pub/db2ann/science_article.html>

[4d-9] Reichardt, Ben W.; Heilmann, Cory; Lai, Yuan Y. & Spielman, Anita (2003), Proof of the double bubble conjecture in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{4}$ and certain higher dimensional cases, Pacific Journal of Mathematics Т. 208 (2): 347–366, DOI 10.2140/pjm.2003.208.347

[reichardt-10] Reichardt, Ben W. (2008), Proof of the double bubble conjecture in $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{n}$ , Journal of Geometric Analysis Т. 18 (1): 172–191, DOI 10.1007/s12220-007-9002-y

[s99-11] Sullivan, John M. (1999), The geometry of bubbles and foams, in Sadoc, Jean-François & Rivier, Nicolas, Foams and Emulsions: Proc. NATO Advanced Study Inst. on Foams and Emulsions, Emulsions and Cellular Materials, Cargèse, Corsica, 12–24 May, 1997, vol. 354, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. E Appl. Sci., Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., с. 379–402, DOI 10.1007/978-94-015-9157-7_23

[hales-12] Hales, Thomas C. (2001), The honeycomb conjecture, Discrete and Computational Geometry Т. 25 (1): 1–22, DOI 10.1007/s004540010071

[wp-13] Weaire, Denis & Phelan, Robert (1994), A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces, Philosophical Magazine Letters Т. 69 (2): 107–110, DOI 10.1080/09500839408241577

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]