Теорема об опорной гиперплоскости

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

ФормулировкаПравить

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество $C\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m$$C\in \mathbb{R} ^{m}$  и точка $z^{\ast <!--\; \ast \; -->}=(z_1^{\ast <!--\; \ast \; -->},z_2^{\ast <!--\; \ast \; -->},...,z_m^{\ast <!--\; \ast \; -->})\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^m$$z^{*}=(z_{1}^{*},z_{2}^{*},...,z_{m}^{*})\in \mathbb{R} ^{m}$ , не принадлежащая множеству $C$$C$ , то существуют такие числа $a_1,a_2,...,a_m,b$$a_{1},a_{2},...,a_{m},b$ , что

$a_1{z}_1^{\ast <!--\; \ast \; -->}+a_2{z}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}+...+a_m{z}_m^{\ast <!--\; \ast \; -->}=b$$a_{1}z_{1}^{*}+a_{2}z_{2}^{*}+...+a_{m}z_{m}^{*}=b$ 

$a_1{z}_1+a_2{z}_2+...+a_m{z}_m>b,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z\in <!--\; \in \; -->C$$a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}>b,\forall z\in C$ 

Геометрически это означает, что через точку $z^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$z^{*}$  можно провести гиперплоскость так, что множество $C$$C$  будет лежать «выше» этой гиперплоскости.

ЛитератураПравить

• Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
• Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
• Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.