Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда

Для термина «Теорема Чеботарёва» см. также другие значения.

Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда (теорема о корнях из единицы) — утверждение о неравенстве нулю всех миноров матрицы Вандермонда для корней из единицы. Установлено в 1930-е годы советским математиком Николаем Чеботарёвым.

Согласно теореме, для любого простого числа $p$$p$ все миноры матрицы Вандермонда $\Vert <!--\; \Vert \; -->a_{jk}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_0^{p-<!--\; -\; -->1}$$\|a_{jk}\|_{0}^{p-1}$, где $a_{jk}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{jk}$$a_{jk}=\varepsilon ^{jk}$ и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\exp <!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{p}\right)$$\varepsilon =\exp \left({\frac {2\pi i}{p}}\right)$, — отличны от нуля.

Результат имеет важное значение для цифровой обработки сигналов, так как матрица Вандермонда для корней из единицы — одно из представлений дискретного преобразования Фурье.

Матрица максимальных входящих лесов орграфа является собственным проектором его лапласовской матрицы.

Литература Править

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — С. 55—56. — 304 с.