Теорема Чеботарёва об устойчивости функции

Для термина «Теорема Чеботарёва» см. также другие значения.

Теорема Чеботарёва об устойчивости функции — обобщение теоремы Эрмита — Билера на случай целых функций. Названа по имени советского математика Николая Чеботарёва.

ФормулировкаПравить

Целая функция $f$$f$  тогда и только тогда сильно устойчива, когда соответствующие функции $g$$g$  и $h$$h$  составляют вещественную пару и хотя бы в одной точке вещественной оси функция $g{h}^{\prime }-<!--\; -\; -->g^{\prime }h$$gh'-g'h$  положительна.

ПоясненияПравить

Здесь целой функцией считается функция $f(z)$$f(z)$  комплексного переменного $z$$z$ , разлагающаяся в степенной ряд: $f(z)=a_0+a_{1}z+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n{z}^n+\dots <!--\; \dots \; -->$$f(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{n}z^{n}+\ldots$ , сходящийся при всех значениях $z$$z$ . Целая функция является устойчивой, если у неё нет корней с положительной вещественной частью. Функции $g$$g$  и $h$$h$  определяются следующим образом. Подставив в $f(z)$$f(z)$  вместо $z$$z$  чисто мнимое число $i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$i\omega$  получаем комплексное число $f(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})+ih(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$ . Целые функции $g$$g$  и $h$$h$  составляют вещественную пару, если для любых вещественных $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  все корни функции $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}g+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}h$$\lambda g+\mu h$  вещественны. Если функции $g$$g$  и $h$$h$  составляют вещественную пару, то корни этих функций перемежаются. Корни многочленов $g$$g$  и $h$$h$  с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

ЛитератураПравить

• Постников М. М. Устойчивые многочлены — М.: Наука, 1981. — С. 129.