Теорема Холево

Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений, междисциплинарной области физики и информатики. Её иногда называют границей Холево, поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.

Вводная информацияПравить

Как и для других концепций квантовой теории информации, понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб. У Алисы есть классическая случайная величина X, которая может принимать значения {1, 2, …, n} с соответствующими вероятностями $\{p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n\}$$\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ . Алиса подготавливает квантовое состояние, представленное матрицей плотности ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X$$\rho _{X}$ , выбранной из множества $\{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_n\}$$\{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\}$ , и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X, которое осуществляется через измерение состояния ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X$$\rho _{X}$ , что даёт классический результат, обозначаемый через Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X, является максимальным значением взаимной информации I(X:Y) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать.

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой.

Утверждение теоремыПравить

Пусть $\{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_n\}$$\{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\}$  будет множеством смешанных состояний и пусть ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X$$\rho _{X}$  будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности $P=\{p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n\}$$P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$ .

Теперь для любого измерения, описываемого элементами POVM (англ. positive operator-valued measure, положительная операторная мера) $\{E_Y\}$$\{E_{Y}\}$  и осуществлённого на $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\underset{X}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_X{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_X$$\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$ , количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

$I(X:Y)⩽<!--\; ⩽\; -->S(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{i}S({\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i)$$I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$ 

где $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_i{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i$$\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}$  ; $S(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$S(\cdot )$  является энтропией фон Неймана^[en].

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево:

$\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}:=S(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{i}S({\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i)$$\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$ .

ДоказательствоПравить

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами $P,Q,M$$P,Q,M$ . При этом $P$$P$  рассматривается как подготовка, $Q$$Q$  — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а $M$$M$  — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система $P\otimes <!--\; \otimes \; -->Q\otimes <!--\; \otimes \; -->M$$P\otimes Q\otimes M$  в начале находится в состоянии

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{PQM}:=\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_x|x⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x|\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_x\otimes <!--\; \otimes \; -->|0⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->0|$$\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|$ 

Состояние Алисы $P$$P$  можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение $x$$x$  для случайной переменной $X$$X$ . Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием, описываемым матрицей плотности $\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_x|x⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x|$$\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$ , квантовое состояние, переданное Бобу, равно $\underset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_x{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_x$$\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ , а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии $|0⟩<!--\; ⟩\; -->$$|0\rangle$ .

Используя известные результаты квантовой теории информации^{[какие?]} можно показать^[как?], что

$S(P^{\prime };M^{\prime })⩽<!--\; ⩽\; -->S(P;Q)$$S(P';M')\leqslant S(P;Q)$ 

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать^[как?], что это эквивалентно утверждению теоремы.

ЗамечанияПравить

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь, то есть получить на практике, не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит. Это удивительно по двум причинам:

1. квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
2. требуется $2^n$$2^{n}$  комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

См. такжеПравить

• Квантовое сверхплотное кодирование