Теорема Хинчина — Колмогорова

Теорема Хинчина — Колмогорова (также известная как Теорема Винера — Хинчина и иногда как Теорема Винера — Хинчина — Эйнштейна) утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции.

Непрерывный случай:

$S_{xx}(f)=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{r}_{xx}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$$S_{xx}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,$

где

$r_{xx}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\mathrm{E}[x(t)x^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})],$$r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},$

есть автокорреляционная функция, определённая через математическое ожидание, и где $S_{xx}(f)$$S_{xx}(f)$ — спектральная плотность мощности функции $x(t)$$x(t)$. Отметим, что автокорреляционная функция определена через математическое ожидание от произведения и что преобразования Фурье от $x(t)$$x(t)$ не существует в общем случае, так как стационарные случайные функции не интегрируемы в квадратичном.

Звёздочка означает комплексное сопряжение, оно может быть опущено, если случайный процесс вещественный.

Дискретный случай:

$S_{xx}(f)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{r}_{xx}[k]e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}kf},$$S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},$

где

$r_{xx}[k]=\mathrm{E}[x[n]x^{\ast <!--\; \ast \; -->}[n-<!--\; -\; -->k]]$$r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[n-k]{\big ]}$

и где

$S_{xx}(f)$$S_{xx}(f)$

— спектральная плотность мощности с дискретными значениями $x[n]$$x[n]$. Являясь упорядоченной по дискретным отсчётам времени, спектральная плотность — периодическая функция в частотной области.

ПрименениеПравить

Теорема удобна для анализа линейных стационарных систем, где входные и выходные значения не интегрируемы в квадратурах, из-за чего преобразований Фурье не существует. Как следствие, преобразование Фурье автокорреляционной функции выходного сигнала ЛСС-системы равно произведению преобразования Фурье автокорреляционной функции входного сигнала системы на квадрат модуля преобразования Фурье её импульсной характеристики. Это выполняется даже когда преобразований Фурье входных и выходных сигналов не существует, из-за того что они не интегрируемы. Поэтому входные и выходные параметры не могут быть прямо связаны преобразованием Фурье импульсной передаточной функции.

Из того, что преобразование Фурье автокорреляционной функции сигнала есть спектр мощности сигнала, следует, что спектр мощности выходного сигнала равен произведению спектра мощности входного и передаточной функции системы.

Это следствие используется в нахождении спектра мощности параметрическим методом.

Несоответствие определенияПравить

В определениях, включающих бесконечные интегралы для спектральной плотности и автокорреляции, теорема Хинчина — Колмогорова является просто парой Фурье-преобразований, легко доказываемой для любой интегрируемой функции, то есть для которой существуют преобразования Фурье. Более удобно, и исторически так сложилось, что для стационарных сигналов, у которых преобразований Фурье не существует, теорема применяется используя определение автокорреляционной функции через математическое ожидание, а не через бесконечный интеграл. Упрощение теоремы Хинчина — Колмогорова распространено в современной технической литературе и затеняет вклад А. Я. Хинчина, Норберта Винера и А. Н. Колмогорова.