Теорема Хеллингера — Тёплица

Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа, устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

Формулировка Править

Пусть $H$$H$  — гильбертово пространство. Если для линейного оператора $A:H\to <!--\; \to \; -->H$$A:\,H\to H$  существует линейный оператор $B:H\to <!--\; \to \; -->H$$B:\,H\to H$ , удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,By)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->H$$(Ax,y)=(x,By)\;\forall x,y\in H$ , то оператор $A$$A$  является ограниченным.

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию $(Ax,y)=(x,Ay)\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->H$$(Ax,y)=(x,Ay)\;\forall x,y\in H$ .

Замечания Править

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве.

Следствия Править

• Всякий симметрический оператор, определённый на всём гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.
• Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве.