Теорема Фишера — Типпета — Гнеденко

В статистике теорема Фишера — Типпета — Гнеденко (также теорема Фишера — Типпета или теорема об экстремальных значениях ) является теоремой теории экстремальных значений в отношении асимптотического распределения статистик экстремального порядка . Теорема об экстремальных значениях и детали ее сходимости приписываются Фреше (1927), Фишеру и Типпету (1928), Мизесу (1936) и Гнеденко (1943).

Впервые проблема нахождения распределения максимального значения в последовательности случайных величин была сформулирована Борткевичем В.И. в 1922 году. В 1928 Фишер и Типпет указали принадлежность распределения к одному из трех типов. В работах Мизеса и Гнеденко были указаны условия сходимости к данным трем распределениям

ОписаниеПравить

Есть последовательность величин$X_1,X_2,...,X_n...$$X_{1},X_{2},...,X_{n}...$  независимых и одинаково распределенных переменных$M_n=max\{X_1,...,X_n\}$$M_{n}=\max\{X_{1},...,X_{n}\}$ . Если имеются пары действительных чисел $(a_n,b_n)$$(a_{n},b_{n})$  то существуют такой, что $a_n>0$$a_{n}>0$  e $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}P\left(\frac{M_n-<!--\; -\; -->b_n}{a_n}\le <!--\; \le \; -->x\right)=F(x)$$\lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)$ , если $F$$F$  является невыраженной функцией распределения, то предельное распределение $F$$F$  принадлежит к распределениям либо Гумбеля, либо Фреше, либо Вейбулля. Эти ситуации называют обобщениями экстремальными законами.

В разработке теоремы участвовали Математики Фишер в 1927 и Типетт в 1928 году, а также Борис Гнеденко в 1943 году.

G(γ,x,θ) =EXP[ -(1+ γ *(x-µ)/θ)^(-1/ γ) ]

Данная функция при γ =0 имеет форму распределения Гумбеля (экспотенциальный хвост) ,при γ > 0 имеет форму распределения Фреше (тяжелый хвост), а при γ < 0 (легкий хвост) — форму распределения Вейбулла.

ЛитератураПравить

• Fisher R.A., Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proc. Cambridge Phil. Soc., 24 (1928), 180-190.
• Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d’une s´erie al´eatoire. Ann. Math., 44 (1943), 423-453.

СсылкиПравить

• Научные достижения Б.В. Гнеденко
• Статья про теорему
• Верификация радиолокационного наукастинга областей осадков значительной площади с помощью обобщенного распределения Парето.Часть 1: элементы теории и методы оценки параметров А.В. Муравьев, А.Ю. Бундель, Д.Б. Киктев, А.В. Смирнов