Теорема Томсена

Теорема Томсена, названная именем немецкого математика Герхарда Томсена^[en], — это теорема элементарной геометрии, согласно которой определённая ломаная, построенная из отрезков, которые параллельны сторонам треугольника, всегда завершается в начальной точке.

Теорема Томсена, $P_7=P_1$$P_{7}=P_{1}$

ФормулировкаПравить

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$$ABC$  с точкой $P_1$$P_1$  на стороне $BC$$BC$ . Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне $AC$$AC$  прямая через точку $P_1$$P_1$  пересекает сторону $AB$$AB$  в точке $P_2$$P_2$ , а параллельная стороне $BC$$BC$  прямая, проходящая через точку $P_2$$P_2$ , пересекает сторону$AC$$AC$  в точке $P_3$$P_{3}$ . Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне $AB$$AB$  прямая через точку $P_3$$P_{3}$  пересекает сторону $BC$$BC$  в точке $P_4$$P_{4}$ , а параллельная стороне $AC$$AC$  прямая через точку $P_4$$P_{4}$  пересекает сторону $AB$$AB$  в точке $P_5$$P_5$ . Наконец, параллельная стороне $BC$$BC$  прямая через точку $P_5$$P_5$  пересекает сторону $AC$$AC$  в точке $P_6$$P_{6}$ , а параллельная стороне $AB$$AB$  прямая через точку $P_6$$P_{6}$  пересекает сторону $BC$$BC$  в точке $P_7$$P_{7}$ . Теорема Томсена утверждает, что точки $P_7$$P_{7}$  и $P_1$$P_1$  совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6{P}_1$$P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}P_{1}$ .

ДоказательствоПравить

Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:

$P_5{P}_6\parallel <!--\; \parallel \; -->BC⟹<!--\; ⟹\; -->\frac{A{P}_6}{AC}=\frac{A{P}_5}{AB},$$P_{5}P_{6}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {AP_{5}}{AB}},$ 

$P_4{P}_5\parallel <!--\; \parallel \; -->CA⟹<!--\; ⟹\; -->\frac{A{P}_5}{AB}=\frac{C{P}_4}{CB},$$P_{4}P_{5}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {AP_{5}}{AB}}={\dfrac {CP_{4}}{CB}},$ 

$P_3{P}_4\parallel <!--\; \parallel \; -->AB⟹<!--\; ⟹\; -->\frac{C{P}_4}{CB}=\frac{C{P}_3}{CA},$$P_{3}P_{4}\parallel AB\Longrightarrow {\dfrac {CP_{4}}{CB}}={\dfrac {CP_{3}}{CA}},$ 

$P_2{P}_3\parallel <!--\; \parallel \; -->BC⟹<!--\; ⟹\; -->\frac{C{P}_3}{CA}=\frac{B{P}_2}{BA},$$P_{2}P_{3}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {CP_{3}}{CA}}={\dfrac {BP_{2}}{BA}},$ 

$P_1{P}_2\parallel <!--\; \parallel \; -->CA⟹<!--\; ⟹\; -->\frac{B{P}_2}{BA}=\frac{B{P}_1}{BC}.$$P_{1}P_{2}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {BP_{2}}{BA}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}.$ 

Таким образом, $\frac{A{P}_6}{AC}=\frac{B{P}_1}{BC}$${\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}$ . Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что $P_6{P}_1\parallel <!--\; \parallel \; -->AB$$P_{6}P_{1}\parallel AB$ . Но по условию $P_6{P}_7\parallel <!--\; \parallel \; -->AB$$P_{6}P_{7}\parallel AB$ . Поэтому $P_1=P_7$$P_{1}=P_{7}$ .

См. такжеПравить

• Треугольник

ЛитератураПравить

• Satz von Thomsen // Schülerduden – Mathematik II. — Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004. — С. 358–359. — ISBN 3-411-04275-3. (Немецкий язык)

СсылкиПравить

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (Немецкий язык)
• Weisstein, Eric W. Thomsen's Figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.