Теорема Стюарта

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Рис. 1

Она утверждает, что если точка $D$$D$ лежит на стороне $BC$$BC$ треугольника $ABC$$ABC$, то

$A{D}^2=p^2=b^2\frac{x}{a}+c^2\frac{y}{a}-<!--\; -\; -->xy,$$AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy},$

где $y=CD$$y=CD$, $x=BD$$x=BD$ и $a=x+y=BC$$a=x+y=BC$ (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

ДоказательстваПравить

Через произведение векторовПравить

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения. Представим вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD},$${\overrightarrow {AD}},$  длина которого искома, двумя способами:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD}.$${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD}}.$ 

Первое уравнение домножим на длину $CD$$CD$ , а второе — на $BD:<!--\; :\; -->$$BD\colon$ 

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD,$${\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,$ 

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD.$${\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.$ 

Теперь сложим полученные уравнения:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BC=(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD)+(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD),$${\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),$ 

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD=0,$${\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,$  так как $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD}\cdot <!--\; \cdot \; -->CD$${\overrightarrow {BD}}\cdot CD$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{CD}\cdot <!--\; \cdot \; -->BD$${\overrightarrow {CD}}\cdot BD$  имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}$${\overrightarrow {AD}}$  равен

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\frac{CD}{BC}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\frac{BD}{BC}.$${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.$ 

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}$${\overrightarrow {AD}}$  на самого себя:

${\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AD}\right)}^2={\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\right)}^2{\left(\frac{CD}{BC}\right)}^2+{\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\right)}^2{\left(\frac{BD}{BC}\right)}^2+2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{CD}{BC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{BD}{BC}.$$\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC}}\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Green}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.$ 

Далее, чтобы выразить $2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}$$2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$  через длины, нужно найти $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}{)}^2:<!--\; :\; -->$$({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon$ 

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB},$${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},$ 

$B{C}^2=A{C}^2-<!--\; -\; -->2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+A{B}^2,$$BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},$ 

$2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}=A{C}^2+A{B}^2-<!--\; -\; -->B{C}^2.$$2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.$ 

Отсюда окончательно получается, что

$A{D}^2=A{B}^2\frac{C{D}^2}{B{C}^2}+A{C}^2\frac{B{D}^2}{B{C}^2}+(A{C}^2+A{B}^2-<!--\; -\; -->B{C}^2)\frac{CD}{BC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{BD}{BC},$$AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC^{2}}}+({\color {Green}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}},$ 

$A{D}^2=A{B}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{CD}{BC}+A{C}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{BD}{BC}-<!--\; -\; -->CD\cdot <!--\; \cdot \; -->BD.$$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Через теорему косинусовПравить

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB$$\angle ADB$  и $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADC,$$\angle ADC,$  смежные друг другу:

$A{B}^2=B{D}^2+A{D}^2-<!--\; -\; -->2AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BD\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB,$$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,$ 

${\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}B}.\\\end{alignedat}}$ 

Умножим первое уравнение на $DC$$DC$ , а второе — на $BD:<!--\; :\; -->$$BD\colon$ 

$\{\begin{array}{l}A{B}^{2}DC=B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC-<!--\; -\; -->2AD\cdot <!--\; \cdot \; -->BD\cdot <!--\; \cdot \; -->DC\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB,\\ A{C}^{2}BD=A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD+2AD\cdot <!--\; \cdot \; -->DC\cdot <!--\; \cdot \; -->BD\cos <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ADB,\end{array}$${\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}$ 

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD=(B{D}^{2}DC+A{D}^{2}DC)+(A{D}^{2}BD+D{C}^{2}BD),$$AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),$ 

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-<!--\; -\; -->B{D}^{2}DC-<!--\; -\; -->D{C}^{2}BD=A{D}^2(DC+BD),$$AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),$ 

$A{B}^{2}DC+A{C}^{2}BD-<!--\; -\; -->BD\cdot <!--\; \cdot \; -->DC(BD+DC)=A{D}^2(DC+BD),$$AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),$ 

$A{B}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{CD}{BC}+A{C}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{BD}{BC}-<!--\; -\; -->BD\cdot <!--\; \cdot \; -->CD=A{D}^2.$$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

ИсторияПравить

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

ПрименениеПравить

• Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
• Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.^{[прояснить]}

ОбобщениеПравить

• Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

ЛитератураПравить

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.