Теорема Руше

По теореме Руше^[fr], если функции $f(z)$$f(z)$ и $g(z)$$g(z)$ голоморфны в односвязной области $G$$G$, а на контуре $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}G$$\partial G$ выполняется неравенство $|g(z)|<|f(z)|$, то в области $G$$G$ функции $f$$f$ и $f+g$$f+g$ имеют одинаковое количество нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности.

Или: $f(z)$$f(z)$ и $g(z)$$g(z)$ голоморфны в односвязной области $G$$G$, $h=f+g$$h=f+g$, а $K$$K$ — стандартный компакт, лежащий в $G$$G$. Если $|g(z)|<|f(z)|\forall z\in Fr(K)$, то $\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}k}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}dz=\underset{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}k}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$$\int \limits _{\delta k}{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz=\int \limits _{\delta k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$

СсылкиПравить

• Beardon, Alan. Complex Analysis: the Winding Number principle in analysis and topology (англ.). — John Wiley and Sons, 1979. — P. 131. — ISBN 0-471-99672-6.
• Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions (англ.). — 2nd. — Oxford University Press, 1939. — P. 117—119, 198—203. — ISBN 0-19-853349-7.