Теорема Рохлина о сигнатуре

Теорема Рохлина о сигнатуре — теорема четырёхмерной топологии. Доказана Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1952 году.

Формулировка Править

Предположим гладкое замкнутое односвязное 4-мерное многообразие $M$$M$  удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• $M$$M$  имеет спинорную структуру^[en].
• $w_2(M)=0$$w_{2}(M)=0$ ; то есть, второй класс Штифеля — Уитни равен нулю.
• Форма пересечений $M$$M$  чётна.

Тогда сигнатура его формы пересечения делится на 16.

Замечания Править

• По теореме Джахита Арфа, любая чётная унимодулярная решетка имеет сигнатуру, кратную 8, поэтому теорема Рохлина влечёт всего лишь одну дополнительную двойку, делящую сигнатуру. По этой причине теорема иногда называется «Рохлинской двойкой»

• Поверхность K3 компактна, четырехмерна и $w_2(M)=0$$w_{2}(M)=0$ , а её сигнатура равна 16. В частности, делимость в теореме Рохлина невозможно улучшить.

• Комплексная поверхность в $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^3$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$  степени $d$$d$  имеет сигнатуру $(4-<!--\; -\; -->d^2)d/3$$(4-d^{2})d/3$ , что видно из теоремы Фридриха Хирцебруха о роде многообразия. При $d=4$$d=4$  получаем K3-поверхность.

• Многообразие E8 Майкла Фридмана является односвязным компактным топологическим многообразием с $w_2(M)=0$$w_{2}(M)=0$  и форма пересечения $E_8$$E_8$  signature 8. Из теоремы Рохлина следует, что это многообразие не имеет гладкой структуры. В частности теорема Рохлина неверна для топологических (не гладких) многообразий.

• Если многообразие $M$$M$  односвязно (или, в более общем случае, если первая группа гомологий не имеет 2-кручения), то $w_2(M)=0$$w_{2}(M)=0$  эквивалентно чётности формы пересечения. Для неодносвязных многообразий это не так: поверхность Энриквеса^[en] представляет собой компактное гладкое 4-многообразие и имеет чётную форму пересечения, но $w_2(M)\ne <!--\; \ne \; -->0$$w_{2}(M)\neq 0$ .

О доказательствах Править

• Теорема Рохлина может быть выведена из того факта, что третья устойчивая гомотопическая группа сфер ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_3^S$$\pi _{3}^{S}$  является циклической порядка 24; это оригинальный подход Рохлина.

• Её можно вывести из теоремы Атьи — Зингера об индексе.

• Робион Кёрби дал другое доказательство.

Ссылки Править

• Александр Александрович Гайфуллин, Рохлинская двойка, занатия (часть 1) + (часть 2) + (часть 3) на YouTube.