Теорема Ройшле

Теорема Ройшле описывает свойства чевиан треугольника, пересекающихся в одной точке. Теорема названа именем немецкого математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Известна также как теорема Теркема по имени французского математика Олри Теркема (1782—1862), опубликовавшего её в 1842 году.

Теорема Ройшле:
чевианы $A{P}_a$$AP_{a}$, $A{P}_b$$AP_{b}$ и $A{P}_c$$AP_{c}$ пересекаются в точке $D$$D$
$A{P}_a^{\prime }$$AP'_{a}$, $A{P}_b^{\prime }$$AP'_{b}$ и $A{P}_c^{\prime }$$AP'_{c}$ пересекаются в $D^{\prime }$$D'$

Утверждение теоремыПравить

В треугольнике $ABC$$ABC$  с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин $A$$A$ , $B$$B$ , $C$$C$ , обозначим $P_a$$P_a$ , $P_b$$P_b$  и $P_c$$P_c$  пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки $P_a$$P_a$ , $P_b$$P_b$  и $P_c$$P_c$  пересекает продолжения сторон треугольника в точках $P_a^{\prime }$$P'_{a}$ , $P_b^{\prime }$$P'_{b}$  и $P_c^{\prime }$$P'_{c}$ . Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы $A{P}_a^{\prime }$$AP'_{a}$ , $B{P}_b^{\prime }$$BP'_{b}$  и $C{P}_c^{\prime }$$CP'_{c}$  пересекаются также в одной точке.

Частный случай. Пример теоремы РойшлеПравить

• Для окружности девяти точек, которая, в числе прочих, носит и название «окружность Теркема», Теркем доказал теорему Теркема. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

ЛитератураПравить

• Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. — Stuttgart, 1867 (reprint Wiesbaden 1973). — Т. I. — С. 125. — ISBN 3-500-26010-1. (немецкий язык)
• M. D. Fox, J. R. Goggins. Cevian Axes and Related Curves // The Mathematical Gazette. — 2007. — Т. 91, № 520. — С. 3—4.

СсылкиПравить

• Terquem’s theorem at cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.