Теорема Райкова

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\xi_1$ и ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2$$\xi_2$ независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Формулировка теоремыПравить

Пусть случайная величина $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2$$\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$ . Тогда распределения случайных величин ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\xi_1$  и ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2$$\xi_2$  являются смещёнными распределениями Пуассона.

Вариации и обобщенияПравить

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть $X$$X$  — локально компактная абелева группа. Обозначим через $M^1(X)$$M^{1}(X)$  сверточную полугруппу вероятностных распределений на $X$$X$ , а через $E_x$$E_{x}$  — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ . Пусть $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ , $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ .

Распределением Пуассона, порождённым мерой $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_{x_0}$$\lambda E_{x_{0}}$ , называется смещённым распределения вида

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=e(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_{x_0})=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(E_0+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_{x_0}+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2{E}_{2x_0}/2!+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^n{E}_{n{x}_0}/n!+\dots <!--\; \dots \; -->).$$\mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).$ 

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — распределение Пуассона, порождённое мерой $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{E}_{x_0}$$\lambda E_{x_{0}}$ . Пусть $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2,$$\mu =\mu _{1}*\mu _{2},$  где ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_j\in <!--\; \in \; -->M^1(X)$$\mu _{j}\in M^{1}(X)$ . Если $x_0$$x_{0}$  — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_j$$\mu _{j}$  также является распределением Пуассона. Если же $x_0$$x_{0}$  — элемент конечного порядка $n$$n$ , $n\ne <!--\; \ne \; -->2$$n\neq 2$ , то ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_j$$\mu _{j}$  может быть не распределением Пуассона.