Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

ФормулировкаПравить

Для всякой функции действительного переменного $f(x)$$f(x)$ , принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем $L^2$$L^{2}$  на интервале $\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left(-\infty ,\infty \right)$ , существует такая функция действительного переменного $g(x)$$g(x)$ , также принадлежащая $L^2$$L^{2}$  на интервале $\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left(-\infty ,\infty \right)$ , что

$\underset{A\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left|g(u)-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\underset{-<!--\; -\; -->A}{\overset{A}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)e^{iux}dx\right|}^{2}du=0$$\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0$ .

Также выполняются равенства:

$\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left|g(u)\right|}^{2}du=\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left|f(x)\right|}^{2}dx$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}dx$ 

и

$\underset{A\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\left|f(x)-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\underset{-<!--\; -\; -->A}{\overset{A}{\int <!--\; \int \; -->}}g(u)e^{-<!--\; -\; -->iux}du\right|}^{2}dx=0$$\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0$ .

Функция $g(u)$$g(u)$ , являющаяся преобразованием Фурье функции $f(x)$$f(x)$ , однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль .

См. такжеПравить

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)

ЛитератураПравить

• C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.