Теорема Микеля

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля^[fr]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´, лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.

Теорема Микеля для различных треугольников

ФормулировкаПравить

Пусть $ABC$$ABC$  — треугольник с произвольными точками $A^{\prime }$$A'$ , $B^{\prime }$$B'$  и $C^{\prime }$$C'$  соответственно на сторонах $BC$$BC$ , $AC$$AC$  и $AB$$AB$  (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$AB'C'$ , $A^{\prime }B{C}^{\prime }$$A'BC'$ , и $A^{\prime }{B}^{\prime }C.$$A'B'C.$  Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке $M$$M$ , называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}M{A}^{\prime }B,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}M{B}^{\prime }C,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}M{C}^{\prime }A$$\angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A$  (отмечены на рисунке).

Частный случайПравить

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. такжеПравить

• Точка Микеля — другой результат Микеля

ЛитератураПравить

• Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2 
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson 
• Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6