Теорема Массельмана

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремыПравить

 

Треугольник T с вершинами A, B и C; O — центр описанной окружности (красная).
A*, B* и C* — точки, симметричные точкам A, B и C относительно противоположной стороны.
M — точка пересечения окружностей Массельмана.
Зелёная окружность — окружность девяти точек, N — её центр.
K — точка Косниты.

Пусть дан треугольник $T$$T$  с вершинами $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$ . Пусть $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$ , $B^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$B^{*}$  и $C^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$C^{*}$  — вершины треугольника отражений $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$T^{*}$ , получаемого зеркальным отражением каждой вершины $T$$T$  относительно противоположной стороны. Пусть $O$$O$  — центр описанной окружности $T$$T$ . Рассмотрим 3 окружности $S_A$$S_{A}$ , $S_B$$S_{B}$  и $S_C$$S_{C}$ , проходящие через точки $AO{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A\,O\,A^{*}$ , $BO{B}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$B\,O\,B^{*}$  и $CO{C}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$C\,O\,C^{*}$  соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке $M$$M$ , которая является инверсией относительно описанной вокруг $T$$T$  окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника $T$$T$ .

Общая точка $M$$M$  является точкой Гилберта треугольника $T$$T$ , которая перечислена как $X_{1157}$$X_{1157}$  в Энциклопедии центров треугольника.

ИсторияПравить

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году, и доказательство представлено ими в 1941 году. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом.

Обобщение ГорматигаПравить

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$  — вершины треугольника $T$$T$ , и $O$$O$  — центр описанной окружности. Пусть $H$$H$  — ортоцентр треугольника $T$$T$ , то есть пересечение трёх высот. Пусть $A^{\prime }$$A'$ , $B^{\prime }$$B'$  и $C^{\prime }$$C'$  — три точки на отрезках $OA$$OA$ , $OB$$OB$  и $OC$$OC$ , такие что $O{A}^{\prime }/OA=O{B}^{\prime }/OB=O{C}^{\prime }/OC=t$$OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t$ . Рассмотрим 3 прямые $L_A$$L_{A}$ , $L_B$$L_{B}$  и $L_C$$L_{C}$ , перпендикулярные $OA$$OA$ , $OB$$OB$  и $OC$$OC$  через точки $A^{\prime }$$A'$ , $B^{\prime }$$B'$  и $C^{\prime }$$C'$  соответственно. Пусть $P_A$$P_{A}$ , $P_B$$P_{B}$  и $P_C$$P_{C}$  — точки пересечения перпендикуляров с прямыми $BC$$BC$ , $CA$$CA$  и $AB$$AB$  соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки $P_A$$P_{A}$ , $P_B$$P_{B}$  и $P_C$$P_{C}$  лежат на одной прямой $R$$R$ . Пусть $N$$N$  — проекция центра описанной окружности $O$$O$  на прямую $R$$R$ , а $N^{\prime }$$N'$  — точка на $ON$$ON$ , такая что $O{N}^{\prime }/ON=t$$ON'/ON=t$ . Горматиг доказал, что $N^{\prime }$$N'$  является инверсией относительно описанной вокруг треугольника $T$$T$  окружности изогонального сопряжения точки $Q$$Q$  на прямой Эйлера $OH$$OH$ , такой что $QH/QO=2t$$QH/QO=2t$ .