Теорема Манна — Вальда

Теорема Манна — Вальда (англ. Mann–Wald theorem) или теорема о непрерывном отображении (англ. continuous mapping theorem, CMT) — положение теории вероятностей, которое утверждает, что непрерывные функции сохраняют предел даже в том случае, если их аргументы — последовательности случайных величин. Непрерывная функция в определении Гейне отображает сходящуюся последовательность в другую сходящуюся последовательность: если x_n → x, то g(x_n) → g(x). Теорема утверждает, что этот результат сохраняется и при замене детерминированной последовательности {x_n} на последовательность случайных величин {X_n}, а понятие сходимости для вещественных чисел — на один из типов сходимости случайных величин.

Теорема впервые доказана Манном и Вальдом в 1943 году^[1].

ФормулировкаПравить

Пусть {X_n}, X — случайные элементы, определённые на метрическом пространстве S. Пусть функция g: S→S′ (где S′ есть другое метрическое пространство) разрывна в точках из множества D_g причём Pr[X ∈ D_g] = 0. Тогда^[2]^[3]^[4]

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ g(X).$