Теорема о точках плотности

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

ФормулировкаПравить

Обозначим через $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  меру Лебега на евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ . Пусть $A\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$A\subset \mathbb {R} ^{n}$  — измеримое множество. Для произвольной точки $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x\in \mathbb{R} ^{n}$  и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  рассмотрим значение

$d_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x)=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(A\cap <!--\; \cap \; -->B_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x))}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(B_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x))}$$d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}$ ,

где $B_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x)$$B_{\varepsilon }(x)$  обозначает шар с центром в $x$$x$  и радиусом $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ . Величина $d_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x)$$d_{\varepsilon }(x)$  может интерпретироваться как приблизительная плотность множества $A$$A$  в точке $x$$x$ .

Тогда

$d(x)=\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{d}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(x)$$d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)$ 

существует и равен 1 для почти каждой точки $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$ .

ЗамечанияПравить

• Величина $d(x)$$d(x)$ , если определена, называется плотностью множества $A$$A$  в точке $x$$x$ .
• Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества $A\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$A\subset \mathbb {R} ^{n}$  принимает значение 0 или 1 почти всюду в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ .
• Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

ПримерыПравить

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема о точках плотности является частным случаем теоремы о дифференциации Лебега^[en].

ЛитератураПравить

• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.