Теорема Лебега о разложении меры

Вводные определения

Пусть $F$$F$ — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева и такая, что $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$. Введём на полукольце всех промежутков вида $[a,b)$$[a,\;b)$ меру $m$$m$ по следующему правилу: $m[a,b)=F(b)-<!--\; -\; -->F(a)$$m[a,\;b)=F(b)-F(a)$. Эта меру меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами $a,b$$a,\;b$ будут заданы следующим образом.

$m[a,b)=F(b)-<!--\; -\; -->F(a)$$m[a,\;b)=F(b)-F(a)$,

$m(a,b)=F(b)-<!--\; -\; -->F(a+0)$$m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)$,

$m(a,b]=F(b+0)-<!--\; -\; -->F(a+0)$$m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)$,

$m[a,b]=F(b+0)-<!--\; -\; -->F(a)$$m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)$,

Здесь $F(a+0)$$F(a+0)$ - правосторонний предел функции $F(x)$$F(x)$ в точке $a$$a$ (он существует, поскольку функция $F(x)$$F(x)$ неубывающая).

Мера $m$$m$ может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_F$$\mu _{F}$ — мера Стилтьеса.

Частные случаи производящей функции $F$$F$:

• $F$$F$ — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество $A$$A$ — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_F(A)=\underset{x_i\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_i$$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на $[a,b]$$[a,\;b]$, на $(a,b)$$(a,\;b)$ $F^{\prime }(x)=f(x)$$F'(x)=f(x)$.

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_F(A)=\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)dx$$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ — абсолютно непрерывная мера.

• $F$$F$ — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение $F$$F$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду $const$$const$). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.