Теорема Кёнига (механика)

Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.

ФормулировкаПравить

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

$T=T_0+T_r,$${T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,$ 

где $T$$T$  — полная кинетическая энергия системы, $T_0$$T_{0}$  — кинетическая энергия движения центра масс, $T_r$$T_{r}$  — относительная кинетическая энергия системы.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

ВыводПравить

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему $S$$S$ ,  распределены непрерывно.

Найдём относительную кинетическую энергию $T_r$$T_{r}$  системы $S$$S$ ,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$$\vec \rho$  — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$$S$   в подвижной системе координат. Тогда:

$T_r=\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m,$$T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,$ 

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0$${\vec r}_{0}$  — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$$S$   в исходной системе координат, то верно соотношение:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}.$$\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.$ 

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

$T=\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}{\mathrm{d}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m=\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->\left(\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_o}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_o}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}m.$$T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\,{\rm d}m\;.$ 

Учитывая, что радиус-вектор ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0$${\vec r}_{0}$  одинаков для всех $\mathrm{d}m$${\rm d}m$ , можно, раскрыв скобки, вынести $\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0}{\mathrm{d}t}$$\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$  за знак интеграла:

$T=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0}{\mathrm{d}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0}{\mathrm{d}t}\int <!--\; \int \; -->\mathrm{d}m+\frac{\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_0}{\mathrm{d}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m+\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m.$$T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;.$ 

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно $T_r$$T_{r}$ , то есть относительной кинетической энергии системы $S$$S$ .

См. такжеПравить

• Иоганн Самуэль Кёниг
• Теорема о движении центра масс системы
• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

ЛитератураПравить

• Гернет М. М.  Курс теоретической механики. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. — 344 с.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3.