Теорема Кронекера — Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Доказана Леопо́льдом Кро́некером, Альфре́до Капе́лли.

ПоясненияПравить

Система уравнений $Ax=B$$Ax=B$  разрешима тогда и только тогда, когда $\mathrm{rang}<!--\; \; -->A=\mathrm{rang}<!--\; \; -->(A|B)$$\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$ , где $(A|B)$$(A|B)$  — расширенная матрица, полученная из матрицы $A$$A$  приписыванием столбца $B$$B$ .

Доказательство (условия совместности системы)Править

НеобходимостьПравить

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathbb R}$  такие, что $b=x_1{a}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n{a}_n$$b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ . Следовательно, столбец $b$$b$  является линейной комбинацией столбцов $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_1,\dots,a_n$  матрицы $A$$A$ . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $\mathrm{rang}<!--\; \; -->A=\mathrm{rang}<!--\; \; -->A|B$$\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$ .

ДостаточностьПравить

Пусть $\mathrm{rang}<!--\; \; -->A=\mathrm{rang}<!--\; \; -->A|B=r$$\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r$ . Возьмём в матрице $A$$A$  какой-нибудь базисный минор. Так как $\mathrm{rang}<!--\; \; -->A|B=r$$\operatorname {rang} A|B=r$ , то он же будет базисным минором и матрицы $A|B$$A|B$ . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы $A|B$$A|B$  будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$$A$ . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$$A$ .

СледствияПравить

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. такжеПравить

• Матрица (математика)
• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

ЛитератураПравить

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.