Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Формулировка теоремыПравить

Будем предполагать, что ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2...$$\xi _{1},\xi _{2}...$  последовательность независимых случайных величин, $S_n={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2+...+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n}$  и $A$$A$  — множество тех элементарных исходов $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , где ряд $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\sum \xi _{n}(\omega )$  сходится к конечному пределу.

Первая частьПравить

Пусть $M{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n=0,n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ . Тогда, если $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ , то ряд $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\sum \xi _{n}$  сходится с вероятностью единица.

Вторая частьПравить

Если к тому же случайные величины ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n,n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$\xi _{n},n\geqslant 1$  равномерно ограничены: $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ , то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\sum \xi _{n}$  следует первая часть.

ДоказательствоПравить

Первой частиПравить

Последовательность $(S_n),n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$(S_{n}),n\geqslant 1$ , сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица, то есть

$P\{\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->1}{sup}|S_{n+k}-<!--\; -\; -->S_n|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\}\to <!--\; \to \; -->0,n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$

(1)

В силу неравенства Колмогорова:

$P\{\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->1}{sup}|S_{n+k}-<!--\; -\; -->S_n|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}P\{\underset{1⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->N}{max}|S_{n+k}-<!--\; -\; -->S_n|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\}⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{\underset{k=n}{\overset{n+N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}M{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k^2}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}=\frac{\underset{k=n}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}M{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k^2}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}$$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k=n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}$ 

Поэтому, если $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$ , то выполнено условие 1, следовательно, ряд $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k$$\sum \xi _{k}$  сходится с вероятностью единица.

Второй частиПравить

Пусть ряд $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k$$\sum \xi _{k}$  сходится. Тогда в силу условия 1 для достаточно больших $n$$n$ :

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2}}$

(2)

В силу неравенства Колмогорова $P\{\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->1}{sup}|S_{n+k}-<!--\; -\; -->S_n|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\}⩾<!--\; ⩾\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{(c+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2}{\underset{k=n}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}M{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k^2}$$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2}}{\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}}$ .

Поэтому, если допустить, что $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}M{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k^2=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$ , то получим

$P\{\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->1}{sup}|S_{n+k}-<!--\; -\; -->S_n|⩾<!--\; ⩾\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\}=1$$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , что противоречит неравенству 2 ${\displaystyle }$.

ЛитератураПравить

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)