Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система КовалевскойПравить

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями $u_1,u_2,...,u_N$$u_{1},u_{2},...,u_{N}$  вида

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{n_i}{u}_i(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{n_i}}=F_i\left(t,x,u_i,...,u_N,...,\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^a{u}_j}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{a_0}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^{a_1}...\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^{a_n}},...\right),$${\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),$ 

где $x=(x_1,...,x_n)$$x=(x_{1},...,x_{n})$ , $a=a_0+a_1+...+a_n$$a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ , $a⩽<!--\; ⩽\; -->n_j$$a\leqslant n_{j}$ , $a_0⩽<!--\; ⩽\; -->n_j-<!--\; -\; -->1$$a_{0}\leqslant n_{j}-1$ , $i,j=1,...,N$$i,j=1,...,N$ , то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная $t$$t$  выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка $n_i$$n_{i}$  каждой функции системы содержится производная по $t$$t$  порядка $n_i$$n_{i}$  и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

$D^{a^{\prime }}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^k(x)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{a^{\prime }}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^k(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^{a_1}...\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^{a_n}},$$D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},$ 

где $a^{\prime }=a_0+a_1+...+a_n$$a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ , $a_i⩾<!--\; ⩾\; -->0$$a_{i}\geqslant 0$ , $i=1,...,N$$i=1,...,N$ .

ФормулировкаПравить

Если все функции ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^k(x)$$\phi _{i}^{k}(x)$  аналитичны в окрестности точки $x^0=(x_1^0,...,x_n^0)$$x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ , а функции $F_i$$F_{i}$  определены и аналитичны в окрестности точки $(t^0,x_1^0,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n^0,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^k(x^0),\dots <!--\; \dots \; -->,D^{a^{\prime }}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_i^k(x^0),\dots <!--\; \dots \; -->)$$(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots )$ , то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки $(t^0,x_1^0,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n^0)$$(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ , единственное в классе аналитических функций.

См. такжеПравить

• Теорема Коши — Ковалевской

ЛитератураПравить

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Москва: «Наука», 1981. — С. 78—79. — 512 с.