Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

ТеоремаПравить

Определение смешанной производнойПравить

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция $f$$f$  многих переменных:

$(1)f=f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->x_n)$$(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ 

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов $x_i$$x_{i}$ , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

$(2)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_i)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}{|}_{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->x_{i-<!--\; -\; -->1},x_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->x_n=const}$$(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}$ 

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  в общем случае зависит от тех же переменных $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->x_n$$x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ , что и оригинальная функция $f$$f$ :

$(3)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->x_n)$$(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ 

Если функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу $x_j$$x_{j}$ :

$(4)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$$(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$ 

Если $j\ne <!--\; \ne \; -->i$$j\neq i$ , то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремыПравить

Для гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

$(5)\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$$(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$ 

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкостиПравить

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

$(6)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$$(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i}},\;{\partial f \over \partial x_{j}},\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}},{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$ 

• 3. Поскольку для фиксированных индексов $i,j$$i,j$  все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент $x_k$$x_k$  является константой, то функция $f$$f$  (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

$f(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->x_n)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x_i,x_j)+Z(\dots <!--\; \dots \; -->x_{i-<!--\; -\; -->1},x_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->x_{j-<!--\; -\; -->1},x_{j+1},\dots <!--\; \dots \; -->)$$f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )$ 

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремыПравить

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения $x_i,x_j$$x_{i},x_{j}$  на $x,y$$x,y$ , то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

$(7)f=f(x,y)$$(7)\qquad f=f(x,y)$ 

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

$(8)f_x(x,y)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x},f_y(x,y)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$$(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial y}$ 

$(8a)f_{xy}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y},f_{yx}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}$ 

Пусть в точке $(x,y)$$(x, y)$  существует смешанная производная:

$(9)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f_y(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x,y)-<!--\; -\; -->f_y(x,y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$$(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x,y) \over \Delta x}$ 

Предположим, что смешанная производная $f_{xy}$$f_{xy}$  существует в точке $(x,y)$$(x, y)$ , а также существует первая производная $f_y(x,y)$$f_{y}(x,y)$  вдоль (горизонтальной) прямой $y=const$$y=const$ .

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

$(10)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\left[f(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x,y)-<!--\; -\; -->f(x,y)\right]$$(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\right]$ 

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

$(11)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{f}_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi$ 

Нужно, чтобы существовала частная производная $f_x$$f_{x}$  вдоль прямой $y=const$$y=const$ .

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

$(12)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}\left({\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{f}_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{f}_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right)$$(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)$ 

Как видно, надо, чтобы частная производная $f_x$$f_{x}$  существовала не только на прямой $y=const$$y=const$ , но в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$$(x, y)$ .

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель $\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}$${1 \over \Delta y}$ :

$(13)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\frac{f_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->f_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi$ 

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

$(14)\frac{f_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->f_x(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},y)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}=f_{yx}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )$ 

Средняя точка является функцией:

$(14a)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)$$(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)$ ,

значения которой лежат в интервале (если, например, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y>0$$\Delta y>0$ )

$(14b)\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[y,y+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y]$$(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]$ 

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной $f_{yx}=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}$  в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$$(x, y)$ .

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке $(x,y)$$(x, y)$  как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке $(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$(\xi ,\eta )$  равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке $(x,y)$$(x, y)$ :

$(15)f_{yx}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=f_{yx}(x,y)+o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->y)$$(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)$ 

Смешанная производная $f_{yx}$$f_{yx}$  существует в двухмерной окрестности точки $(x,y)$$(x, y)$  и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

$(16)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}(f_{yx}(x,y)+o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->y))d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi$ 

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое $f_{yx}(x,y)$$f_{yx}(x,y)$  является константой по переменной интегрирования $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

$(17){\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}(f_{yx}(x,y)+o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->y))d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{f}_{yx}(x,y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=$$(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi =$ 

$=f_{yx}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x+{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}-<!--\; -\; -->y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi$ 

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

$(18)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\left(f_{yx}(x,y)\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x+\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right)=$$(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=$ 

$=f_{yx}(x,y)+\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi$ 

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$ . Непрерывность смешанной производной $f_{yx}$$f_{yx}$  в точке $(x,y)$$(x, y)$  означает, что существует такое положительное число $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , что для каждой точки $(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$(\xi ,\eta )$  внутри квадрата $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$  справедливо неравенство:

$(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon$ 

Если мы возьмём положительные числа $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$ , то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

$(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x}^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x$ 

Обозначим это слагаемое $L$$L$ 

$(21)L=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}o(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}-<!--\; -\; -->x,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y)-<!--\; -\; -->y)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\le <!--\; \le \; -->\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x=\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon$ 

Аналогично (если взять $-\epsilon <\Delta x<0$ ), имеем оценку снизу:

$(22)L\ge <!--\; \ge \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$(22)\qquad L\geq -\epsilon$ 

Поскольку положительное число $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$  может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует $L=0$$L=0$ . Теорема доказана.

Уточнение гладкости функцииПравить

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, $f_{xy}$$f_{xy}$ ) в точке, а также существование второй смешанной производной $f_{yx}$$f_{yx}$  в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной $f_y$$f_{y}$  вдоль отрезка прямой $y=const$$y=const$  и существование производной $f_x$$f_{x}$  в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование $f_{xy}$$f_{xy}$  в точке $(x,y)$$(x, y)$  следует из двух фактов: (а) существует производная $f_y$$f_{y}$  вдоль отрезка прямой $y=const$$y=const$ , проходящей через точку $(x,y)$$(x, y)$ , (б) смешанная производная $f_{yx}$$f_{yx}$  существует и непрерывна в этой точке.

ПримерПравить

Рассмотрим функцию

$(23)f(x,y)=xy+y^2\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(y)$$(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)$ 

где функция Дирихле $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(y)$$\chi (y)$  равна нулю в рациональных точках $y=\frac{m}{n}$$y={m \over n}$  и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой $y=0$$y=0$  и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

$(24)f_x(x,y)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=y$$(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y$ 

а также одна из смешанных производных:

$(25)f_{yx}(x,y)=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=1$$(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1$ 

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой $y=0$$y=0$ :

$(26)f_y(x,0)=x$$(26)\qquad f_{y}(x,0)=x$ 

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

$(27)f_{xy}(x,0)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f_y(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x,0)-<!--\; -\; -->f_y(x,0)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}=1$$(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x,0) \over \Delta x}=1$ 

Как видим, для точек прямой $y=0$$y=0$  условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

КонтрпримерПравить

Рассмотрим функцию двух переменных $x,y$$x,y$ 

$(28)f(x,y)=\frac{|ax+by{|}^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$$(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 

где буквами $a,b$$a,b$  обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат $x=0,y=0$$x=0,\;y=0$ . Мы можем доопределить функцию $f(x,y)$$f(x,y)$  в начале координат

$(29)f(0,0)=0$$(29)\qquad f(0,0)=0$ 

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя $r\to <!--\; \to \; -->0$$r\rightarrow 0$ ):

$(30)f(r,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=(a^2+b^2{)}^{\frac{3}{2}}{r}^2|\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_0){|}^3$$(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi +\phi _{0})|^{3}$ 

Покажем, что для этой доопределённой функции $f(x,y)$$f(x,y)$  смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные $f_x,f_y$$f_{x},\,f_{y}$ . Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

$(31)\frac{d}{dx}|x{|}^3=3x|x|$$(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|$ 

$(31a)\frac{d^2}{d{x}^2}|x{|}^3=\frac{d}{dx}(3x|x|)=6|x|$$(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|$ 

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции $f(x,y)$$f(x,y)$  в точке плоскости, отличной от начала координат ($r=\sqrt{x^2+y^2}$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ):

$(32)f_x=3a\frac{(ax+by)|ax+by|}{r}-<!--\; -\; -->\frac{x}{r^3}|ax+by{|}^3$$(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by| \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}$ 

$(33)f_y=3b\frac{(ax+by)|ax+by|}{r}-<!--\; -\; -->\frac{y}{r^3}|ax+by{|}^3$$(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by| \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}$ 

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

$(32a)f_x(0,0)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x,0)-<!--\; -\; -->f(0,0)}{x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{|ax{|}^3}{x|x|}=0$$(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0$ 

Аналогично

$(33a)f_y(0,0)=0$$(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0$ 

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

$(34)f_{xy}(0,0)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f_y(x,0)-<!--\; -\; -->f_y(0,0)}{x}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{1}{x}\left(\frac{3bax|ax|}{|x|}\right)=3ab|a|$$(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|$ 

Аналогичное вычисление даёт:

$(35)f_{yx}(0,0)=3ab|b|$$(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|$ 

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

$(36)|a|>0,|b|>0,|a|\ne <!--\; \ne \; -->|b|$$(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|$ 

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

$f(x,y)=\frac{xy(x^2-<!--\; -\; -->y^2)}{x^2+y^2}$$f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2}}$ 

Упрощенное доказательство для аналитических функцийПравить

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

$(37)f(x,y)=\underset{n,m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{nm}(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^n(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^m$$(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m}$ 

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

$(38)f_x=\underset{n,m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n{a}_{nm}(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^{n-<!--\; -\; -->1}(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^m$$(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m}$ 

$(39)f_y=\underset{n,m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}m{a}_{nm}(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^n(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^{m-<!--\; -\; -->1}$$(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m-1}$ 

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

$(40)f_{xy}=f_{y}x=\underset{n,m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}nm{a}_{nm}(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^{n-<!--\; -\; -->1}(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^{m-<!--\; -\; -->1}$$(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m-1}$ 

См. такжеПравить

• Смешанная частная производная

ЛитератураПравить

• Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics (неопр.). — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104.
• Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (англ.). — World Scientific, 2008. — ISBN 978-981-279-170-2.