Теоремы Кельвина

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).

Теорема Кельвина о безвихревом движенииПравить

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.

Доказательство первой теоремы КельвинаПравить

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-то_вихр. − Что-то_{безвихр.}. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{2}\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}[(\mathbf{V}+\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}{)}^2-<!--\; -\; -->V^2]d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathbf{V}\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{2}\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}|\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}{|}^{2}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$$\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2}-V^{2}]d\tau =\rho \iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,$ 

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

$\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathbf{V}\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$$\iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau ,$ 

а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:

$\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathbf{V}\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{div}<!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{div}<!--\; \; -->(\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\iint <!--\; \iint \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}{)}_{n}d\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}-<!--\; -\; -->\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\mathrm{div}<!--\; \; -->\mathbf{V})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},$$\iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,$ 

где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}T=\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{2}\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\iiint <!--\; \iiint \; -->}|\mathbf{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{V}{|}^{2}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}>0,$$\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,$ 

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема КельвинаПравить

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.

Доказательство второй теоремы КельвинаПравить

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\mathbf{V}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}=\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d}{dt}(\mathbf{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r})=\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}+\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\mathbf{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{(}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}\mathbf{)}=\\ =\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}+\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\mathbf{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}+\underset{C}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\frac{V^2}{2}\right).\end{array}$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt}}(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \left({\frac {V^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}$ 

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}=\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{V}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_C(\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{V}}).$${\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot {V}} ).$ 

Теорема Кельвина о баротропной жидкостиПравить

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

при движении баротропной идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.

Доказательство третьей теоремы КельвинаПравить

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: $\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{V}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\mathbf {\dot {V}} =-\operatorname {grad} \Pi$ :

$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathbf{V}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}=\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\stackrel{\mathbf{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}}{\mathbf{V}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}=-<!--\; -\; -->\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{grad}<!--\; \; -->\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{r}=-<!--\; -\; -->\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}=0,$${\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad} \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,$ 

следовательно, $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

ЛитератураПравить

• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — (Классики отечественной науки). — ISBN 5-7107-6327-6.
• Сычев В. В., Башкин В. А. Ч. I // Лекции по теоретической гидродинамике. — М.: МФТИ, 2003. — 188 с. — ISBN 5-7417-0222-8.