Теорема Каратеодори — Тёплица

Теорема Каратеодори — Тёплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Тёплица:

Пусть $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ — единичный круг в комплексной плоскости $\mathbb{C}.$$\mathbb {C} .$

Множество всех функций $h(z)$$h(z)$ с положительной в $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ вещественной частью и нормировкой $h(0)=1,$$h(0)=1,$ отображающих круг $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через $C.$$C.$

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов $(\{h{\}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\{h{\}}_n),$$(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ где $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},$$n\in \mathbb {N} ,$ на классе $C.$$C.$

Множество значений системы коэффициентов $(\{h{\}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\{h{\}}_n),$$(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in {\mathbb N}$ на классе $C$$C$ есть замкнутое выпуклое ограниченное множество $K_n$$K_n$ точек $n$$n$-мерного комплексного евклидова пространства ${\mathbb{C}}^n$${\mathbb C}^{n}$ для которых определители

$det\{a_{ij}{\}}_{i,j=0}^k,1⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n,$$\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k}},\qquad 1\leqslant k\leqslant n,$

где

$a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{j-i},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij}}},\quad j<i,$

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки $(\{h{\}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,\{h{\}}_n)$$(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ границе $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{K}_n$$\partial K_{n}$ тела коэффициентов $K_n.$$K_{n}.$ Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса $C,$$C,$ имеющая вид выпуклой линейной комбинации

$h^{(k)}(z)=\underset{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\frac{1+e^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}z}{1-<!--\; -\; -->e^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}z}$$h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}$

с коэффициентами ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}},$$\alpha _{\nu },$ причем $1⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$1\leqslant k\leqslant n$ и ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\ne <!--\; \ne \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$\varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu }$ при $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},$$\mu \neq \nu ,$ $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

См. такжеПравить

• Теорема Каратеодори — Фейера.

ЛитератураПравить

• Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193—217.
• Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191—192.