Теорема Дроз-Фарни

Теорема Дроз-Фарни — это свойство двух перпендикуляров, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника. Линия, проходящая через $A_0,B_0,C_0$$A_{0},B_{0},C_{0}$ — прямая Дроз-Фарни.

Линия, проходящая через $A_0,B_0,C_0$$A_{0},B_{0},C_{0}$ это — Дроз-Фарни прямая (Droz-Farny line)

ФормулировкаПравить

Пусть $T$$T$ — треугольник с вершинами $A$$A$, $B$$B$ и $C$$C$, и пусть $H$$H$ — его ортоцентр (точка пересечения трех его высот). Пусть $L_1$$L_{1}$ и $L_2$$L_{2}$ — любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через $H$$H$. Пусть $A_1$$A_{1}$, $B_1$$B_1$ и $C_1$$C_{1}$ — три точки, в которых прямая $L_1$$L_{1}$ пересекает стороны $BC$$BC$, $CA$$CA$ и $AB$$AB$ соответственно. Аналогично определяются $A_2$$A_{2}$, $B_2$$B_{2}$ и $C_2$$C_{2}$. Теорема Дроз-Фарни утверждает то, что середины трех отрезков $A_1{A}_2$$A_{1}A_{2}$, $B_1{B}_2$$B_{1}B_{2}$ и $C_1{C}_2$$C_{1}C_{2}$ лежат на одной прямой (коллинеарны).,,

ИсторияПравить

Теорема сформулирована Арнольдом Дроз-Фарни^[en] в 1899 году.

Вариации и обобщенияПравить

Обобщение ГорматигаПравить

Обобщение теоремы Дроз-Фарни было доказано в 1930 году Рене Горматигом.. Как и выше, пусть $T$$T$  — треугольник с вершинами $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$ . Пусть $P$$P$  — любая точка, отличная от $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$ , и $l$$l$  — любая прямая, проходящая через $P$$P$ . Пусть $A_1$$A_{1}$ , $B_1$$B_1$  и $C_1$$C_{1}$  — точки на $BC$$BC$ , $CA$$CA$  и $AB$$AB$  соответственно, взятые таким образом, чтобы прямые $P{A}_1$$PA_{1}$ , $P{B}_1$$PB_{1}$  и $P{C}_1$$PC_{1}$  были образами прямых $PA$$PA$ , $PB$$PB$  и $PC$$PC$  соответственно при их отражении относительно прямой $l$$l$ . Тогда теорема Горматига утверждает то, что точки $A_1$$A_{1}$ , $B_1$$B_1$  и $C_1$$C_{1}$  коллинеарны. Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этой теоремы, когда точка $P$$P$  является ортоцентром треугольника $T$$T$ .

Обобщение ДаоПравить

Теорема была обобщена Дао Тхань Оайем. Обобщение выглядит следующим образом:

• Первое обобщение: Пусть $P$$P$  точка на плоскости и пусть три параллельных отрезка $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$$AA',BB',CC'$  таковы, что их середины и точка $P$$P$  лежат на одной прямой. Тогда $P{A}^{\prime },P{B}^{\prime },P{C}^{\prime }$$PA',PB',PC'$  пересекаются соответственно в трех коллинеарных точках $BC,CA,AB$$BC, CA, AB$ .
• Второе обобщение: пусть $S$$S$  — коника, а $P$$P$  — точка плоскости. Проведем три прямые d_a, d_b, d_c через точку $P$$P$ , такие, что они пересекаются на конике соответственно A в точке A'; B в точке B'; C в точке C'. Пусть $D$$D$  — точка на поляре точки $P$$P$  относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A₀; DB' ∩ AC = B₀; DC' ∩ AB= C₀. Тогда A₀, B₀, C₀ лежат на одной прямой.

 

Второе обобщение Дао для теоремы Дроз-Фарни

СсылкиПравить

• Droz-Farny line theorem (Теорема_Дроз-Фарни) (англ. яз.)// https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Droz-Farny_line_theorem&action=edit