Теорема Дезарга об инволюции

Теорема Дезарга об инволюции (ТДИ) — теорема проективной геометрии

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z'), (W,W') отличаются проективной инволюцией

Определение и свойства проективной инволюцииПравить

ОпределениеПравить

Отображение $f$$f$  называется проективной инволюцией, если $f\circ <!--\; \circ \; -->f=Id$$f\circ f=Id$  и $f$$f$  сохраняет двойные (или сложные) отношения.

СвойстваПравить

1. Проективная инволюция однозначно восстанавливается по трём точкам.
2. Если $f$$f$  — проективное отображение прямой в себя и $f(X)=X^{\prime },f(X^{\prime })=X$$f(X)=X',f(X')=X$  $⟹<!--\; ⟹\; -->$$\Longrightarrow$  $f$$f$  — проективная инволюция.
3. Если $f$$f$  — проективная инволюция $⟹<!--\; ⟹\; -->$$\Longrightarrow$  $f$$f$  — инверсия с некоторым центром $Q$$Q$  + возможная симметрия относительно $Q$$Q$ .
4. Если $f$$f$  — проективная инволюция коники $⟹<!--\; ⟹\; -->$$\Longrightarrow$  $f$$f$  — центральная проекция.

Формулировка Теоремы Дезарга об инволюцииПравить

Даны четыре точки $A,B,C,D$$A,B,C,D$  общего положения (никакие 3 точки не лежат на одной прямой) и прямая $L$$L$ , не проходящая через них. Пусть $L$$L$  пересекает прямые $AB,CD,BC,AD,AC,BD$$AB,CD,BC,AD,AC,BD$  в точках $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime },Z,Z^{\prime }$$X,X',Y,Y',Z,Z'$  соответственно и конику $c$$c$ , проходящую через $A,B,C,D$$A,B,C,D$  в точках $W,W^{\prime }$$W,W'$ . Тогда на прямой $L$$L$  существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->X^{\prime },Y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->Y^{\prime },Z\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->Z^{\prime },W\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->W^{\prime }$$f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z',W\leftrightarrow W'$ 

Доказательство Теоремы Дезарга об инволюцииПравить

Рассмотрим проективное преобразование $f$$f$  такое, что $f(W)=W^{\prime },f(W^{\prime })=W,f(X)=X^{\prime }$$f(W)=W',f(W')=W,f(X)=X'$  (такое преобразование существует, так как проективное преобразование прямой определяется заданием трёх пар соответствующих по отображению точек. Это утверждение часто называют основной теоремой проективной геометрии). Тогда из свойства 1 следует, что $f$$f$  — проективная инволюция $⟹<!--\; ⟹\; -->f(X)=X^{\prime }$$\Longrightarrow f(X)=X'$  . Докажем, что $f(Z^{\prime })=Z$$f(Z')=Z$  . Из точки $A$$A$  спроецируем четыре точки $W,X,Z,W^{\prime }$$W,X,Z,W'$  на конику $c$$c$  , получим равенство двойных отношений $[W,W^{\prime };X,Z]=[W,W^{\prime };B,C]$$[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]$  , затем спроецируем эти точки из $D$$D$  обратно на прямую $L$$L$ , получим $[W,W^{\prime };X,Z]=[W,W^{\prime };B,C]=[W,W^{\prime };Z^{\prime },X^{\prime }]$$[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]=[W,W';Z',X']$  . Теперь применим преобразование $f$$f$  к двойному отношению $[W,W^{\prime };Z^{\prime },X^{\prime }]$$[W,W';Z',X']$  , Тогда $[W,W^{\prime };Z^{\prime },X^{\prime }]=[W^{\prime },W,f(Z^{\prime }),X]=[W,W^{\prime };X,f(Z^{\prime })]$$[W,W';Z',X']=[W',W,f(Z'),X]=[W,W';X,f(Z')]$ , то есть $[W,W^{\prime };X,Z]=[W,W^{\prime };X,f(Z^{\prime })]$$[W,W';X,Z]=[W,W';X,f(Z')]$  . Из полученного равенства следует, что .$f(Z^{\prime })=Z$$f(Z')=Z$ 

Утверждение, что $f(Y^{\prime })=Y$$f(Y')=Y$  доказывается аналогично. Таким образом, теорема доказана.

ТДИ для треугольникаПравить

 

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z') отличаются проективной инволюцией

Рассмотрим все коники, проходящие через три точки $A,B,C$$A,B,C$  общего положения, касательную $t$$t$  в точке $A$$A$  и произвольную прямую $e$$e$ , не проходящую через эти точки. Пусть $e$$e$  пересекает $AB,AC,t,BC$$AB,AC,t,BC$  в точках $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime }$$X,X',Y,Y'$  соответственно, а конику в точках $Z,Z^{\prime }$$Z,Z'$ , тогда существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->X^{\prime },Y\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->Y^{\prime },Z\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->Z^{\prime }$$f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z'$ 

ТДИ, двойственнаяПравить

 

ТДИ, двойственная

Коника $c$$c$  вписана в четырехугольник $ABCD$$ABCD$ , $AB\cap <!--\; \cap \; -->CD=P,BC\cap <!--\; \cap \; -->AD=Q$$AB\cap CD=P,BC\cap AD=Q$ . Вне коники $c$$c$  и не на прямых $AB,BC,CD,DA$$AB,BC,CD,DA$  выбрана точка $N$$N$ . Тогда существует проективная инволюция $f:N⟶<!--\; ⟶\; -->N$$f:N\longrightarrow N$ , меняющая местами пары прямых $NA\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->NC,NB\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->ND,NP\leftrightarrow <!--\; \leftrightarrow \; -->NQ$$NA\leftrightarrow NC,NB\leftrightarrow ND,NP\leftrightarrow NQ$  и касательные из $N$$N$  к конике $c$$c$ . Справедливость этой теоремы следует из проективного принципа двойственности.