Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.^[1].

ФормулировкаПравить

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов^[2].

ПримечаниеПравить

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $b$ которой выполняется тождество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(ab,ab)=(a,a)(b,b)$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a b$ — произведение в алгебре, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(\cdot ,\cdot )$ — скалярное произведение.