Теорема Грина — Тао

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

ФормулировкаПравить

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках $\mathbb{P}$${\mathbb P}$  означает множество простых чисел. Запись ${\log }_{[k]}<!--\; \; -->x$$\log _{[k]}x$  означает $\log <!--\; \; -->\log \dots <!--\; \dots \; -->\log <!--\; \; -->x$$\log \log \dots \log x$ , где логарифм берётся $k$$k$  раз.

Теорема Грина — Тао Пусть $A$$A$  — множество простых чисел, и его плотность относительно простых ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathbb{P}}(A)=lim\underset{N\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{sup}\frac{|A\cap <!--\; \cap \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}|}{|\mathbb{P}\cap <!--\; \cap \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}|}$$\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$  строго положительна. Тогда для любого $k⩾<!--\; ⩾\; -->2$$k\geqslant 2$  множество $A$$A$  содержит арифметическую прогрессию длины $k$$k$ .

В своей отдельной более ранней работе Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества $A$$A$ , но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа $c$$c$  такая, что если для множества простых чисел $A\subset <!--\; \subset \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}$$A\subset \{1,\dots ,N\}$  выполнено $|A|>c\frac{N\sqrt{{\log }_{[5]}<!--\; \; -->N}}{\log <!--\; \; -->N\sqrt{{\log }_{[4]}<!--\; \; -->N}}$$|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}$ , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке $[1,n]$$[1,n]$ , то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда $|A\cap <!--\; \cap \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}|>\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\frac{N}{\log <!--\; \; -->N}$$|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}$ , $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ . Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа $c$$c$  такая, что для любого множества простых чисел $A\subset <!--\; \subset \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}$$A\subset \{1,\dots ,N\}$  и его плотности $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\frac{|A\cap <!--\; \cap \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}|}{|\mathbb{P}\cap <!--\; \cap \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}|}$$\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$  будет выполнено следствие: если $N⩾<!--\; ⩾\; -->e^{e^{e^{\left({\left(c/{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2\right)}^{c/{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2}\right)}}}$$N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}$ , то $A$$A$  содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

ПримерыПравить

• 18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел:

  468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).

• 17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

  6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

• 12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

  43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщенияПравить

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P₁, …, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).

См. такжеПравить

• Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
• Арифметическая комбинаторика
• Теорема Семереди

СсылкиПравить

• MathWorld news article on proof (англ.)
• Primes in Arithmetic Progression Records (англ.)