Теорема Гильберта о погружении плоскости Лобачевского

Теорема Гильберта о погружении плоскости Лобачевского гласит, что плоскость Лобачевского не допускает гладкого изометрического погружения в трёхмерное евклидово пространство.

История Править

Теорема доказана Давидом Гильбертом в 1901 году.^[1]
Другое доказательство было дано вскоре Эриком Холмгреном^[en].^[2] Позже варианты доказательств предложили Вильгельм Бляшке^[3] и Людвиг Бибербах^[4]
Обобщение на произвольные поверхости с отрицательной верхней границей на кривизну было получено Николаем Владимировичем Ефимовым в 1975 году.^[5] Тем самым была доказана гипотеза была выдвинутая Стефаном Эммануиловичем Кон-Фоссеном.^[6]

Теорема Нэша о регулярных вложениях, гласит, что любое риманово многообразие может быть изометрически, вложенного в евклидово пространство достаточно выской размерности.
По теореме Нэша — Кёйпера, плоскость Лобачевского допускает $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C^{1}$ -гладкое изометрическое вложение в трёхмерное евклидово пространство.

↑ Hilbert, D., Über Flächen von konstanter Krümmung" (Transactions of the American Mathematical Society 2 (1901), 87-99). (Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901)
↑ Holmgren, Е.,"Sur les surfaces à courbure constante négative," (1902).
↑ Blaschke W. Vorlesunger uber Differentialgeometrie. — Berlin: Springer, 1924, S. 206.
↑ Bierberbach L. Hilberts Satz uber Flachen konstanter negativer Kriimmungy/ Acta Math. — 1926. — Bd 48. — S. 319—327.
↑ Ефимов, Н. В. Непогружаемость полуплоскости Лобачевского. Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1975, n 2, стр. 83-86.
↑ Кон-Фоссен, С. Э. Изгибаемость поверхностей в целом/УМН — 1936. — Т. 1. — С. 33—76.