Теорема Вика для функционального интеграла

Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в аппарате функциональных интегралов.

ФормулировкаПравить

Теорема.

Пусть случайное поле $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X)$$\varphi (X)$  отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, т.е. $⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X)⟩<!--\; ⟩\; -->=0$$\langle \varphi (X)\rangle =0$ . Тогда для средних значений произведений величин вида ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X_i)$$\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$  верно следующее:

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_N⟩<!--\; ⟩\; -->=\sum <!--\; \sum \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i_1}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j_1}⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i_{N/2}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j_{N/2}}⟩<!--\; ⟩\; -->,$$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$ 

если $N$$N$  чётное, и

$⟨<!--\; ⟨\; -->\underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\prod <!--\; \prod \; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i⟩<!--\; ⟩\; -->=0,$$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$ 

если $N$$N$  нечётное.

Под $⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i_1}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j_1}⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{i_{N/2}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{j_{N/2}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle$  подразумевается разбиение множества $\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}$$\{1,\ldots ,N\}$  на $N/2$$N/2$  пар $(i_k,j_k)$$(i_{k},j_{k})$ , суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям $\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,N\}$$\{1,\ldots ,N\}$  на такие пары.

ПримерыПравить

Для произведения 4 элементов: $⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_3\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_4⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_3\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_4⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_3⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_4⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_4⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_3⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\rangle$ .

Для произведения 6 элементов:

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_3\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_4\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_5\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_6⟩<!--\; ⟩\; -->=\sum <!--\; \sum \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_j⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_l⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_m\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6}\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$ ,

причём суммирование производится по всем возможным спариваниям $(i,j),(k,l),(m,n)$$(i,j),(k,l),(m,n)$  выбранным из множества $\{1,2,3,4,5,6\}$$\{1,2,3,4,5,6\}$ , например, $(1,3),(2,5),(4,6)$$(1,3),(2,5),(4,6)$  или $(1,5),(2,4),(3,6)$$(1,5),(2,4),(3,6)$  (всего таких спариваний 15).

Аналогично для случаев 8 и более элементов

ИспользованиеПравить

Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right]=C\exp <!--\; \; -->\left\{-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}K\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2}\right\}$$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}$ ,

то

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X_2)⟩<!--\; ⟩\; -->=K^{-<!--\; -\; -->1}(X_1,X_2)$$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2})$ .

То есть любую корреляционную функцию $G(X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_N)=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X_1),\dots <!--\; \dots \; -->,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(X_N)⟩<!--\; ⟩\; -->$$G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$  можно по теореме Вика выразить через комбинации $K^{-<!--\; -\; -->1}$$K^{-1}$ , т.е., например

$G(X_1,X_2,X_3,X_4)=K^{-<!--\; -\; -->1}(X_1,X_2)\cdot <!--\; \cdot \; -->K^{-<!--\; -\; -->1}(X_3,X_4)+K^{-<!--\; -\; -->1}(X_1,X_3)\cdot <!--\; \cdot \; -->K^{-<!--\; -\; -->1}(X_2,X_4)+K^{-<!--\; -\; -->1}(X_1,X_4)\cdot <!--\; \cdot \; -->K^{-<!--\; -\; -->1}(X_2,X_3)$$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1}(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

См. такжеПравить

• Континуальное распределение Гаусса
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

ЛитератураПравить

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.