Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностейПравить

ФормулировкаПравить

Пусть $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(u)$$\varphi (u)$  - непрерывная функция $u\in <!--\; \in \; -->R^n$$u\in R^{n}$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(0)=1$$\varphi (0)=1$ . Для того, чтобы функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(u)$$\varphi (u)$  была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом $m>0$$m>0$  для любых вещественных чисел $u_1,u_2,...,u_m$$u_{1},u_{2},...,u_{m}$  и любых комплексных чисел $z_1,z_2,...,z_m$$z_{1},z_{2},...,z_{m}$  выполняется неравенство $\underset{i,j=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(u_i-<!--\; -\; -->u_j)z_i\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_j}⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j}}}\geqslant 0$ .

Здесь $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_j}$${\bar {z_{j}}}$  означает комплексно сопряжённое к $z_j$$z_{j}$  число.

Теория случайных процессовПравить

ФормулировкаПравить

Пусть $\left\{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T\right\}$$\left\{\xi (t),t\in T\right\}$  - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией $B(t)$$B(t)$ .

• Если $\left\{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T\right\}$$\left\{\xi (t),t\in T\right\}$  - скалярный процесс с дискретным временем, то:

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}$ 

где $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda )$  - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по $B(t)$$B(t)$  однозначно, если потребовать, чтобы $F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=0$$F(-\pi )=0$  и $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda )$  была непрерывной справа, $C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$C(\lambda )$  - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, $Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$Q(\lambda )$  - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

• Если $\left\{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T\right\}$$\left\{\xi (t),t\in T\right\}$  - векторный процесс с дискретным временем, то для $B(t)$$B(t)$  имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda )$  - матрица, приращения которой $F({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)-<!--\; -\; -->F({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2),{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2$$F(\lambda _{1})-F(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}$  эрмитовы и неотрицательно определены, $C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$C(\lambda )$  - вещественная симметричная матрица, приращения которой $C({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1)-<!--\; -\; -->C({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2),{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2$$C(\lambda _{1})-C(\lambda _{2}),\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}$  неотрицательно определены, $Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$Q(\lambda )$  - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda )$  определяется однозначно по $B(t)$$B(t)$ , если потребовать, чтобы $F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=0$$F(-\pi )=0$  (нулевая матрица) и $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda )$  была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).

• Если $\left\{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T\right\}$$\left\{\xi (t),t\in T\right\}$  - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{в случае комплексного процесса}}\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right],&{\mbox{в случае действительного процесса}}\end{cases}}$ 

где функции $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$  определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=0$$F(-\infty )=0$ .

• Если $\left\{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}(t),t\in <!--\; \in \; -->T\right\}$$\left\{\xi (t),t\in T\right\}$  - векторный процесс с непрерывным временем, то для $B(t)$$B(t)$  имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы $F(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),C(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}),Q(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$F(\lambda ),C(\lambda ),Q(\lambda )$  определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия $F(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=0$$F(-\infty )=0$  (нулевая матрица).

См. такжеПравить

• Характеристическая функция случайной величины