Теорема Баргмана

Теорема Баргмана — утверждение о свойстве фазовых преобразований в нерелятивистской квантовой механике, запрещающем описывать суперпозицию волновых функций, соответствующих частицам с различными массами. Впервые была доказана Валентином Баргманом в 1954 году.

ФормулировкаПравить

В нерелятивистской квантовой механике невозможно описывать состояния, в которых имеется спектр масс или нестабильные элементарные частицы.

ДоказательствоПравить

Рассмотрим уравнение Шрёдингера: $i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2M}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}=0$$i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi =0$ . Рассмотрим преобразование Галилея вида: $q\to <!--\; \to \; -->q^{\prime }=Rq+Vt+a$$q\rightarrow q'=Rq+Vt+a$ , $t\to <!--\; \to \; -->t^{\prime }=t+b$$t\rightarrow t'=t+b$ , где $R$$R$  — постоянная ортогональная матрица, описывающая пространственное вращение, $V$$V$  — постоянный вектор скорости, описывающий преобразование Галилея, $a$$a$  — постоянный вектор сдвига начала координат в пространстве, $b$$b$  — постоянный сдвиг начала отсчёта времени. Рассмотрим преобразование Галилея как результат применения некоторого унитарного оператора $U$$U$ , который преобразует волновую функцию следующим образом: ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }(q,t)=e^{if}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(q^{\prime },t^{\prime })$$\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ . Инвариантность по отношению к преобразованию Галилея означает, что ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }$$\Psi '$  должна удовлетворять тому же уравнению Шредингера, что и $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$ : $i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2M}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }=0$$i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ . Используя свойства $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{\prime }}+V{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }$${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t'}}+V\nabla '$ , $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}=R{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }$$\nabla =R\nabla '$ , ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime 2}$$\nabla ^{2}=\nabla '^{2}$  подставляем ${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }(q,t)=e^{if}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(q^{\prime },t^{\prime })$$\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$  в $i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2M}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{\prime }=0$$i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ . В результате получаем: $\left[-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{\prime }}-<!--\; -\; -->V{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f+\frac{1}{2m}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f{)}^2-<!--\; -\; -->\frac{i}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime 2}f\right]e^{if}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}+i\left(V-<!--\; -\; -->\frac{1}{m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f\right)e^{if}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}+\left(i\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{\prime }}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime 2}\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}\right)e^{if}=0$$\left[-{\frac {\partial f}{\partial t'}}-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f\right]e^{{if}}\Psi +i\left(V-{\frac {1}{m}}\nabla 'f\right)e^{{if}}\nabla '\Psi +\left(i{\frac {\partial \Psi }{\partial t'}}-{\frac {1}{2m}}\nabla '^{{2}}\Psi \right)e^{{if}}=0$ . Последний член равен нулю, если выполняется уравнение Шредингера, поскольку $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$  и ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\nabla '\Psi$  независимы, отсюда следуют два условия: ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f=mV$$\nabla 'f=mV$ , $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{\prime }}=-<!--\; -\; -->V{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f+\frac{1}{2m}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime }f{)}^2-<!--\; -\; -->\frac{i}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{\prime 2}f$${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f$ . Подставляя первое условие во второе, получаем $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^{\prime }}=-<!--\; -\; -->\frac{m{V}^2}{2}$${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-{\frac {mV^{2}}{2}}$ . В результате интегрирования получаем: $f(q^{\prime },t^{\prime })=mV{q}^{\prime }-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}m{V}^2{t}^{\prime }+C$$f(q',t')=mVq'-{\frac {1}{2}}mV^{2}t'+C$ , где $C$$C$  — постоянная интегрирования. Таким образом, фаза преобразования не может быть исключена никаким выбором постоянной интегрирования. Отсюда следует, что не существует нерелятивистских квантовомеханических состояний, которые описываются линейными суперпозициями волновых функций, соответствующих частицам различных масс. В нерелятивистской квантовой механике невозможно описывать состояния, в которых имеется спектр масс или нестабильные элементарные частицы.

См. такжеПравить

• Группа Шрёдингера

ЛитератураПравить

• Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.