Неравенство Адамара

Нера́венство Адама́ра (также теорема Адамара об определителях), определяет верхнюю границу объёма тела в $n$$n$-мерном евклидовом пространстве, заданного $n$$n$ векторами. Названо в честь Жака Адамара.

ФормулировкаПравить

Пусть $v_i\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$v_{i}\in \mathbb{R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ , а $M$$M$  — матрица, столбцами которой являются векторы $v_i:i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ . Тогда

$|det(M)|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{||v_i||}_2,$$|\det(M)|\leqslant \prod _{{i=1}}^{n}{||v_{i}||}_{2},$ 

где ${||\cdot <!--\; \cdot \; -->||}_2$${||\cdot ||}_{2}$  — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём $n$$n$ -мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

ЛеммаПравить

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица $A$$A$  размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  положительно определённая, то

$|A|⩽<!--\; ⩽\; -->a_{11}{a}_{22}\dots <!--\; \dots \; -->a_{nn}.$$|A|\leqslant a_{{11}}a_{{22}}\ldots a_{{nn}}.$ 

Доказательство леммыПравить

Определитель $|A|$$|A|$  можно представить в виде

$|A|=a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.$ 

Так как $A$$A$  положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным $a_{12},a_{13},\dots <!--\; \dots \; -->,a_{1n}$$a_{{12}},\;a_{{13}},\;\ldots ,\;a_{{1n}}$ , каковой является второе слагаемое, не является положительно определенной. В силу этого

$|A|\leqslant a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.$ 

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства АдамараПравить

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида $A=M{M}^T$$A=MM^{T}$ .

Матрицы, определители которых достигают границы АдамараПравить

В комбинаторикe матрицы с элементами из $\{+1,-<!--\; -\; -->1\}$$\{+1,\;-1\}$ , для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен $n^{\frac{n}{2}}$$n^{{{\frac {n}{2}}}}$ . Из таких матриц получают коды Адамара.

См. такжеПравить

• Граница Плоткина

ЛитератураПравить

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.