Тензоры в физической кинетике

Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной средыПравить

Основные уравнения механики сплошной среды – непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы $\mathrm{m}$$\mathrm {m}$ , импульса $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}$$\mathrm {\vec {p}}$  и энергии $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ .

При этом:

• первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
• второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
• третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
• правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.

При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой $\mathrm{m}$$\mathrm {m}$ , а зарядом $\mathrm{q}$$\mathrm {q}$ .

Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:

• сохраняемость в замкнутых системах;
• аддитивность.

Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.

Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой тензор второго ранга (кинетический тензор):

$\mathbf {\Pi } ={\begin{array}{|ccc|}\Pi _{11}&\Pi _{12}&\Pi _{13}\\\Pi _{21}&\Pi _{22}&\Pi _{23}\\\Pi _{31}&\Pi _{32}&\Pi _{33}\\\end{array}}$ , ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\int <!--\; \int \; -->\mathrm{f}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{v}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {\Pi _{mn}=m\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} _{m}\mathrm {v} _{n}d^{3}\mathrm {v} }$ ,

где

• ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{mn}$$\Pi _{mn}$  – количество $\mathrm{m}$$\mathrm {m}$ -й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ -м направлении.
• $\mathrm{f}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {f({\vec {\mathrm {v} }})}$  – функция распределения частиц по скоростям.

Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:

$\frac{{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{11}+{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{22}+{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{33}}{2}=\frac{\mathrm{m}}{2}\int <!--\; \int \; -->\mathrm{f}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})({\mathrm{v}}_1^2+{\mathrm{v}}_2^2+{\mathrm{v}}_3^2){\mathrm{d}}^3\mathrm{v}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{K}}^{(\mathrm{V})}$$\mathrm {{\Pi _{11}+\Pi _{22}+\Pi _{33} \over 2}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})(\mathrm {v} _{1}^{2}+\mathrm {v} _{2}^{2}+\mathrm {v} _{3}^{2})d^{3}\mathrm {v} =\varepsilon _{K}^{(V)}}$ 

В результате форма записи уравнения движения в традиционном представлении отличается от формы записи уравнений непрерывности:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}^{(\mathrm{V})}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \rho \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {p}}^{(V)}={\delta \ \rho \over \delta \ t}}$ 

и энергии:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{F}}}^{(\mathrm{V})}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \varepsilon ^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {q}}-{\vec {V}}\cdot {\vec {F}}^{(V)}={\delta \ \varepsilon ^{(V)} \over \delta \ t}}$ .

А именно:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{p}}_{\mathrm{m}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\underset{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}^{(\mathrm{V})}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{p}}_{\mathrm{m}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ p_{m}^{(V)} \over \partial \ t}+\sum _{mn}{\partial \ \Pi _{mn} \over \partial \ r_{n}}-F_{m}^{(V)}={\delta \ p_{m}^{(V)} \over \delta \ t}}$ 

где:

• $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  – плотность массы;
• ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}^{(\mathrm{V})}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}$$\mathrm {{\vec {p}}^{(V)}=\rho {\vec {V}}}$ – плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}$$\mathrm {\vec {V}}$  – среднемассовая скорость;
• ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^{(\mathrm{V})}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{K}}^{(\mathrm{V})}+\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{m}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}$$\mathrm {\varepsilon ^{(V)}=\varepsilon _{K}^{(V)}+{\rho \over m}\varepsilon _{\chi }}$  – плотность энергии;
• $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{m}}{2}\int <!--\; \int \; -->\mathrm{f}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{v}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}^3\mathrm{v}+\int <!--\; \int \; -->\mathrm{f}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}{\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {\mathrm {{\vec {q}}={m \over 2}\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\mathrm {v} ^{2}{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} +\textstyle \int f({\vec {\mathrm {v} }})\varepsilon _{\chi }{\vec {\mathrm {v} }}\ d^{3}\mathrm {v} } }$  – плотность потока энергии;
• ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}$$\varepsilon _{\chi }$  – внутренняя энергия частицы;
• ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{F}}}^{(\mathrm{V})}$$\mathrm {{\vec {F}}^{(V)}}$  – внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
• $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {\delta \over \delta \ t}$  – изменение в единицу времени в результате столкновений (здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды).

Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:

• громоздкость;
• необходимость записи в трех проекциях;
• привязанность конкретно к декартовым координатам.

Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.

Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{\mathrm{V}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{P}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {\Pi _{mn}=\rho V_{m}V_{n}+\delta _{mn}P-\sigma _{mn}^{I}}$ 

и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{V}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{V}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{m}}}-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}})$$\mathrm {\sigma _{mn}^{I}=\eta {\Biggl (}{\partial \ V_{m} \over \partial \ r_{n}}+{\partial \ V_{n} \over \partial \ r_{m}}-{2 \over 3}\delta _{mn}\nabla \cdot {\vec {V}}{\Biggr )}}$ 

где  

• $\mathrm{P}$$\mathrm {P}$  – давление;
• ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {\sigma _{mn}^{I}}$  – компонента тензора вязких напряжений

Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как натурфилософия, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от Эйлера, Гаусса, Стокса физики уже были только физиками, а математики – только математиками.

В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.

Необходимость выбораПравить

Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:

1. Оставаться в кругу уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений.

2. Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.

Первый выбор оправдан в случае, когда круг объектов с особенными свойствами узок и редко употребляется в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти) в дальнейшем массированном обращении с соответствующими объектами.

Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление векторного анализа, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.

Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.

Второй выбор – введение понятия вектора – означает необходимость усвоения немногих новых определений: вектор, скалярное произведение, векторное произведение и т.п., но легко окупается следующими выгодами:

- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;

- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.

Наиболее существенную новизну сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора – нужно просто привыкнуть к тому, что в геометрии и математике одна величина может характеризоваться не одним, а тремя числами – по числу пространственных измерений в нашей Вселенной. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше необходимостью выбора – по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса девятью скалярами или тремя векторами (со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися девятью числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего "над-класса", к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются тензоры соответствующих рангов.

Понятие тензора определенного рангаПравить

В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.

Тензором определенного ранга $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$  в $\mathrm{I}$$\mathrm {I}$ -мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается ${\mathrm{I}}^{\mathrm{M}}$$\mathrm {I^{M}}$  числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является обычное трехмерное пространство ($\mathrm{I}=3$$\mathrm {I=3}$ ), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$  является величина, которая полностью описывается $3^{\mathrm{M}}$$\mathrm {3^{M}}$  элементами.

В таком случае:

• скаляр, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
• вектор, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.

Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:

• единственный элемент, из которого состоит скаляр $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ , не требует индекса в записи значения;
• каждый из трех элементов ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {A_{m}}$  вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  обозначается индексом $\mathrm{m}$$\mathrm {m}$ , изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
• каждый из $3^{\mathrm{M}}$$\mathrm {3^{M}}$  элементов ${\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2{\mathrm{m}}_3...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {A^{(m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M})}}$   тензора $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  обозначается $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$  индексами ${\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2{\mathrm{m}}_3...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}}$ , изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо ${\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2{\mathrm{m}}_3...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}m_{2}m_{3}...m_{M-1}m_{M}}$  будем писать ${\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ .

В тензорном анализе, так же, как и в векторном, важным является понятие базиса, основанное на определении единичного тензора.

Единичным тензором $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга  есть тензор ${\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}}$ , в котором равны нулю все элементы, кроме равного единице ${\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -го элемента.

В таком случае:

• $e^{()}$$e^{(\ \ )}$ : единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
• ${\mathrm{e}}^{(\mathrm{m})}={\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {e^{(m)}=i_{m}}$ : единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).

Операции с тензорамиПравить

Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.

 Правило 1. Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр

Вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}$$\mathrm {\vec {D}}$  равен сумме векторов $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}$$\mathrm {\vec {B}}$ , если элемент вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}$$\mathrm {\vec {D}}$  равен сумме соответствующих элементов векторов  $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}$$\mathrm {\vec {B}}$ :

1.1. $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}$$\mathrm {{\vec {D}}={\vec {A}}+{\vec {B}}}$           $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$           ${\mathrm{D}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {D_{m}=A_{m}+B_{m}}$ .

Прямым следствием правила сложения векторов является правило умножения вектора на скаляр: вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}$$\mathrm {\vec {D}}$  равен произведению вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  и скаляра $\mathrm{C}$$\mathrm {C}$ , если элемент вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}$$\mathrm {\vec {D}}$   равен произведению соответствующего элемента вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  и скаляра $\mathrm{C}$$\mathrm {C}$ :

1.2. $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{D}}=\mathrm{C}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {{\vec {D}}=C\ {\vec {A}}}$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$           ${\mathrm{D}}_{\mathrm{m}}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {D_{m}=C\ A_{m}}$ .

Тензор $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$  равен сумме тензоров такого же ранга $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$ , если элемент тензора $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$  равен сумме соответствующих элементов тензоров $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$ :

1.3. $\mathbf{D}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$$\mathbf {D} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        ${\mathrm{D}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}={\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}+{\mathrm{B}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}+B^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Прямым следствием правила сложения тензоров является правило умножения тензора на скаляр: тензор $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$  равен произведению тензора $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и скаляра $\mathrm{C}$$\mathrm {C}$ , если элемент тензора $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$  равен произведению соответствующего элемента тензора $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и скаляра $\mathrm{C}$$\mathrm {C}$ :

1.4. $\mathbf{D}=\mathrm{C}\mathbf{A}$$\mathrm {\mathbf {D} =C\ \mathbf {A} }$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        ${\mathrm{D}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}=\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M})}=C\ A^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Правило 2. Запись тензоров как суммы элементов

Вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:

1.5. $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}=\underset{\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {{\vec {A}}=\sum _{m}i_{m}A_{m}}$ .

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {i_{m}A_{m}}$  – единственный смысл записи ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {i_{m}A_{m}}$  состоит в указании, что величине ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {A_{m}}$  равен именно  $\mathrm{m}$$\mathrm {m}$ -й элемент вектора .

Тензор $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:

1.6. $\mathbf{A}=\underset{{\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

При этом нет смысла говорить о результате произведения ${\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$  – единственный смысл записи ${\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}}$  состоит в указании, что величине ${\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}}$   равен именно ${\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -й элемент тензора $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ .

Правило 3. Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора

"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:

1.7. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {i_{m}A_{m}=A_{m}i_{m}}$ .

"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:

1.8.  ${\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}={\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}A^{(m_{1}...m_{M})}=A^{(m_{1}...m_{M})}e^{(m_{1}...m_{M})}}$ .

Правило 4. Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты

Внимание !!! Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.

Тензорным произведением тензора $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и тензора $\mathrm{N}$$\mathrm {N}$ -го ранга $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$  является тензор $\mathrm{M}+\mathrm{N}$$\mathrm {M+N}$ -го ранга $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$ , если ${\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}$$\mathrm {m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N}}$ -й элемент тензора $\mathbf{D}$$\mathbf {D}$  равен произведению ${\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}$$\mathrm {m_{1}...m_{M}}$ -го элемента тензора $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  и ${\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}$$\mathrm {n_{1}...n_{N}}$ -го элемента тензора $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$ :

1.9. $\mathbf{D}=\mathbf{A}\mathbf{B}$$\mathbf {D} =\mathbf {A} \ \mathbf {B}$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        ${\mathrm{D}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}})}={\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}})}$$\mathrm {D^{(m_{1}...m_{M}n_{1}...n_{N})}=A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}}$ .

Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).

С учетом (9) единичный тензор $\mathrm{M}$$\mathrm {M}$ -го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:

1.10. ${\mathrm{e}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}={\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}$$\mathrm {e^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{M}}}$ .

Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:

1.11, $\mathbf{A}=\underset{{\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}$$\mathrm {\mathbf {A} =\sum _{m_{1}...m_{M}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}}$ ,

1.12. ${\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}={\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{i}+1}}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}$$\mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{1}}...i_{m_{i}}A^{(m_{1}...m_{M})}i_{m_{i+1}}...i_{m_{M}}}$ .

В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.

Правило 5. Произведение тензоров

Существуют три вида произведений тензоров: тензорное, векторное и скалярное. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "$\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$ ", соответствующего трем различным случаям:

1.13.   $\circ <!--\; \circ \; -->=($$\circ ={\bigl (}$  "    ", " × ", " · "$)$${\bigr )}$ .

Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) – скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений – знак произведения тензоров фактически относится к ближайшим ортам:

1.14. $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}\circ <!--\; \circ \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}=\underset{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}})\circ <!--\; \circ \; -->({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}})=\underset{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}){\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}({\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}})$$\mathrm {{\vec {A}}\circ {\vec {B}}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n}B_{n}{\bigr )}=\sum _{mn}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}A_{m}B_{n}=\sum _{mn}A_{m}B_{n}{\bigl (}i_{m}\circ i_{n}{\bigr )}}$ ,

1.15. $\mathbf{A}\circ <!--\; \circ \; -->\mathbf{B}=\underset{\begin{array}{c}{m}_1...m_M\\ n_1...n_N\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})\circ <!--\; \circ \; -->({\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}})})=$$\mathrm {\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}{\bigl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigr )}\circ {\bigl (}i_{n_{1}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}{\bigr )}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}{m}_1...m_M\\ n_1...n_N\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}-<!--\; -\; -->1}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}){\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_2}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}})}=$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}B^{(n_{1}...n_{N})}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}{m}_1...m_M\\ n_1...n_N\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}})}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}-<!--\; -\; -->1}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}){\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_2}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{N}}}$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{M}\\n_{1}...n_{N}\end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{M})}B^{(n_{1}...n_{N})}i_{m_{1}}...i_{m_{M-1}}{\bigl (}i_{m_{M}}\circ i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{2}}...i_{n_{N}}}$ .

Правило 6. Произведение орт

Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:

1.16. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{e}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n})}$$\mathrm {i_{m}i_{n}=e^{(mn)}}$ ,

1.17. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}=0$$\mathrm {i_{m}\times i_{m}=0}$ ,

${\mathrm{i}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_2=-<!--\; -\; -->{\mathrm{i}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_1={\mathrm{i}}_3$$\mathrm {i_{1}\times i_{2}=-i_{2}\times i_{1}=i_{3}}$ ,

$-<!--\; -\; -->{\mathrm{i}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_3={\mathrm{i}}_3\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_1={\mathrm{i}}_2$$\mathrm {-i_{1}\times i_{3}=i_{3}\times i_{1}=i_{2}}$ ,

${\mathrm{i}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_3=-<!--\; -\; -->{\mathrm{i}}_3\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_2={\mathrm{i}}_1$$\mathrm {i_{2}\times i_{3}=-i_{3}\times i_{2}=i_{1}}$ ,

1.18. ${\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$$\mathrm {i_{m}\cdot i_{n}=\delta _{mn}}$ ,

где   ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$$\mathrm {\delta _{mn}}$  – символ Кронекера:

1.19. $\mathrm {\delta _{mn}=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {m=n} \\0,&\mathrm {m\neq n} \end{matrix}}\right.}$ .

Правило 7. Извлечение элемента из вектора и тензора

Произвольный вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$   в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$  из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:

1.20. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}$$\mathrm {A_{m}=i_{m}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\cdot i_{m}}$ 

Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:

1.21. ${\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}={\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->(...\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}))=((\mathbf{A}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}})\cdot <!--\; \cdot \; -->...)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}$$\mathrm {A^{(m_{1}...m_{M})}=i_{m_{M}}\cdot {\Bigl (}...\cdot {\Bigl (}i_{m_{1}}\cdot \mathbf {A} {\Bigr )}{\Bigr )}={\Bigl (}{\Bigl (}\mathbf {A} \cdot i_{m_{M}}{\Bigr )}\cdot ...{\Bigr )}\cdot i_{m_{1}}}$ .

Дифференциальные операторы в применении к тензорамПравить

Правило 8. Операторы Гамильтона и Лапласа

Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия оператора Гамильтона $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$ , имеющего, как известно, запись:

1.22. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {\nabla =\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}}$ .

Результатом тензорного действия оператора $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  является градиент, векторного – ротор, скалярного – дивергенция. К сожалению,  в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.

Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив Правило 5 на скалярные дифференциальные операторы – скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений:

1.23. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->=(\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}})\circ <!--\; \circ \; -->=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\circ <!--\; \circ \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {\nabla \circ ={\biggl (}\sum _{n}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}\circ =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}}$ .

Таким образом, имеем:

• градиент скаляра:

1.24. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {\nabla \Phi =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \Phi \over \partial \ r_{n}}}$ ;

• ротор вектора:

1.25. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}})=\underset{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}})$$\mathrm {\nabla \times {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\times i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}}$ ;

• дивергенция вектора:

1.26. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}})=\underset{\mathrm{n}\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}})$$\mathrm {\nabla \cdot {\vec {A}}=\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{nm}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\bigl (}i_{m}A_{m}{\bigr )}=\sum _{nm}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m}{\partial \ A_{m} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}A_{m}{\biggr )}}$ .

Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:

• градиент тензора произвольного ранга:

1.27. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathbf{A}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})=$$\mathrm {\nabla \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}){\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}{\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ ;

• ротор тензора ранга выше нулевого:

1.28. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{A}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})=$$\mathrm {\nabla \times \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\times {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\times <!--\; \times \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}){\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\times i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\times {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ ;

• дивергенция тензора ранга выше нулевого:

1.29. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})=$$\mathrm {\nabla \cdot \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\cdot {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}){\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\cdot i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\cdot {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ .

Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:

1.30. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathbf{A}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\circ <!--\; \circ \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\circ <!--\; \circ \; -->(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})=$$\mathrm {\nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{n}i_{n}\circ {\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}i_{n}\circ {\biggl (}{\partial \over \partial \ r_{n}}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}=}$ 

$=\underset{\begin{array}{c}n\\ {\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\circ <!--\; \circ \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}}){\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}})})$$\mathrm {=\sum _{\begin{matrix}n\\\mathrm {m_{1}...m_{M}} \end{matrix}}{\biggl (}i_{n}\circ i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\partial \ A^{(m_{1}...m_{M})} \over \partial \ r_{n}}+i_{n}\circ {\partial \over \partial \ r_{n}}(i_{m_{1}}...i_{m_{M}})A^{(m_{1}...m_{M})}{\biggr )}}$ .

Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:

1.31. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}})=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_2}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}})+{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_2}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_3}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}})+{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_3}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_4}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}})+...$$\mathrm {{\partial \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{1}}...i_{m_{M}}{\biggr )}={\partial \ i_{m_{1}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{2}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}{\partial \ i_{m_{2}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{3}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+i_{m_{1}}i_{m_{2}}{\partial \ i_{m_{3}} \over \partial \ r_{n}}{\biggl (}i_{m_{4}}...i_{m_{M}}{\biggr )}+...}$ 

При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {\partial \ i_{m} \over \partial \ r_{n}}$ .

В тензорном анализе, как и в векторном, используется также оператор Лапласа $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ :

1.32. $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla$ .

Результат действия оператора $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:

1.33. $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{A}=\underset{\mathrm{m}\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{m}}}({\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}})=\underset{\mathrm{m}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{m}}^2}+(\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{m}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{m}}})\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{A}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}})$$\mathrm {\Delta \mathbf {A} =\sum _{mn}i_{m}\cdot {\partial \over \partial \ r_{m}}{\biggl (}i_{n}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\biggr )}=\sum _{m}{\biggl (}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial \ r_{m}^{2}}+{\biggl (}\sum _{n}i_{m}\cdot {\partial \ i_{n} \over \partial \ r_{m}}{\Biggr )}{\partial \ \mathbf {A} \over \partial \ r_{n}}{\Biggr )}}$ .

Некоторые характеристики тензоров второго рангаПравить

• Представление тензора как матрицы

Тензор $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  второго ранга может быть представлен как матрица:

1.34. $\mathrm {\mathbf {A} ={\begin{array}{|ccc|}A^{(11)}&A^{(12)}&A^{(13)}\\A^{(21)}&A^{(22)}&A^{(23)}\\A^{(31)}&A^{(32)}&A^{(33)}\\\end{array}}}$ .

• След тензора второго ранга

Следом $\mathrm{T}\mathrm{r}\mathbf{A}$$\mathrm {Tr\mathbf {A} }$  тензора второго ранга $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  называют сумму его диагональных элементов:

1.35. $\mathrm{T}\mathrm{r}\mathbf{A}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(11)}+{\mathrm{A}}^{(22)}+{\mathrm{A}}^{(33)}$$\mathrm {Tr\mathbf {A} =\sum _{n}A^{(nn)}=A^{(11)}+A^{(22)}+A^{(33)}}$ .

• Сопряженный тензор

Тензор ${\mathbf{A}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbf {A} ^{*}$   называют сопряженным тензору $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ , если элементы тензора ${\mathbf{A}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbf {A} ^{*}$  получаются перестановкой индексов элементов тензора $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$ :

1.36. $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{*}$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        ${\mathrm{B}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m})}$$\mathrm {B^{(mn)}=A^{(nm)}}$ .

Можно заметить, что:

1.37. $({\mathbf{A}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbf{A}$$(\mathbf {A} ^{*})^{*}\equiv \mathbf {A}$ .

• Симметричный тензор

Тензор $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

1.38. $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}$            $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        ${\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m})}$$\mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}}$ .

• Унитарный тензор

Унитарный тензор $\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\mathbf {\boldsymbol {\delta }}$  есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:

1.39. ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{m}\mathrm{n}}$$\mathrm {\delta ^{(mn)}=\delta _{mn}}$             $⟶<!--\; ⟶\; -->$$\longrightarrow$        $\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\delta }} ={\begin{array}{|ccc|}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}}=\sum _{mn}i_{m}i_{n}\delta _{mn}=\sum _{n}i_{n}i_{n}}$ .

Можно показать следующие свойства унитарного тензора:

1.40. $\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A}=\mathbf{A}$$\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {A}$ ,

1.41. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathbf{A})=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathbf{A}$$\nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {A}$ ,

1.42. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{A})=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->A$$\nabla \cdot {\bigl (}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \cdot \mathbf {A} {\bigr )}=\nabla \mathbf {\cdot } {A}$ ,

1.43. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->})=\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}$$\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {A}}\ \mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\bigr )}=\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ \nabla \cdot {\vec {A}}$ ,

1.44. $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->})=(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\nabla \cdot {\bigl (}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\bigr )}={\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}$ ,

где тензор, сопряженный градиенту вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}$$\mathrm {\vec {A}}$ :

1.45. $(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{r}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$$\mathrm {{\bigl (}\nabla {\vec {A}}{\bigr )}^{*}=\sum _{n}{\partial \ {\vec {A}} \over \partial \ r_{n}}i_{n}}$ 

и внутреннее произведение  унитарного тензора и вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}$${\vec {A}}$ :

1.46. $\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}=\underset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{A}}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$$\mathrm {{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }{\vec {A}}{\scriptstyle \mathbf {\boldsymbol {\delta }} }=\sum _{n}i_{n}{\vec {A}}\ i_{n}}$ .

Симметричные тензоры. Операция симметрииПравить

Тензор $\mathbf{A}$$\mathbf {A}$  произвольного ранга является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:

- для симметричных тензоров 2-го ранга:

1.47. ${\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m})}$$\mathrm {A^{(mn)}=A^{(nm)}}$ ;

- для симметричных тензоров 3-го ранга:

1.48. ${\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k})}$$\mathrm {A^{(kmn)}=A^{(knm)}=A^{(mkn)}=A^{(mnk)}=A^{(nkm)}=A^{(nmk)}}$ ;

- для симметричных тензоров 4-го ранга:

1.49. ${\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k})}=$$\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(iknm)}=A^{(imkn)}=A^{(imnk)}=A^{(inkm)}=A^{(inmk)}=}$ 

${\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k})}=$$\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(kinm)}=A^{(mikn)}=A^{(mink)}=A^{(nikm)}=A^{(nimk)}=}$ 

${\mathrm{A}}^{(\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{k})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{m})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{k})}=$$\mathrm {A^{(ikmn)}=A^{(knim)}=A^{(mkin)}=A^{(mnik)}=A^{(nkim)}=A^{(nmik)}=}$ 

${\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{i})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{i})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{i})}={\mathrm{A}}^{(\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{i})}$$\mathrm {A^{(kmni)}=A^{(knmi)}=A^{(mkni)}=A^{(mnki)}=A^{(nkmi)}=A^{(nmki)}}$ 

и так далее.

Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ -го ранга равно $\mathrm{n}!$$\mathrm {n!}$ .

Любой тензор ${\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}$$\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$   произвольного ранга $n$$n$  может быть преобразован в симметричный тензор  с помощью операции симметрии:

1.50.$\lfloor {\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}\rfloor =\frac{1}{\mathrm{n}!}\sum <!--\; \sum \; -->{\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }={1 \over n!}\sum \mathbf {A} ^{[n]*}}$ ,

где $\sum <!--\; \sum \; -->{\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]\ast <!--\; \ast \; -->}$$\mathrm {\sum \mathbf {A} ^{[n]*}}$   – сумма исходного тензора ${\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}$$\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$   и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).

Можно заметить, что если исходный тензор ${\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}$$\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$   уже является симметричным, имеет место $\lfloor {\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}\rfloor ={\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}$$\mathrm {{\bigl \lfloor }\mathbf {A} ^{[n]}{\bigr \rfloor }=\mathbf {A} ^{[n]}}$ .

Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектораПравить

Тензор ${\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}$$\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}}$  произвольного ранга $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$  может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}$$\mathrm {\vec {a}}$ :

1.51. ${\mathbf{A}}^{[\mathrm{n}]}=\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}...\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}}$$\mathrm {\mathbf {A} ^{[n]}=\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}}$ .

Для краткости можно использовать символ тензорной степени вектора (итерации вектора):

1.52. $\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}...\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}}={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}$$\mathrm {\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n}={\vec {a}}^{\lceil n\rceil }}$ .

Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках $\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->$$\mathrm {\lceil n\rceil }$ , чтобы не путать тензорный квадрат вектора:

1.53. ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->2\rceil <!--\; \rceil \; -->}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}$$\mathrm {{\vec {a}}^{\lceil 2\rceil }={\vec {a}}\ {\vec {a}}}$ 

с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):

1.54. ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^2=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}=|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}{|}^2={\mathrm{a}}^2$$\mathrm {{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}=a^{2}}$ .

Можно убедиться, что:

1.55. $\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}\rfloor \equiv <!--\; \equiv \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}$$\mathrm {{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n\rceil }{\bigr \rfloor }\equiv {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }}$ .

В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (бином Ньютона):

1.56. $(\mathrm{a}+\mathrm{b}{)}^{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{k}=0}{\overset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}!(\mathrm{n}-<!--\; -\; -->\mathrm{k})!}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$$\mathrm {{\bigl (}a+b{\bigr )}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}}$ .

С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:

1.57. $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{b}}{)}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}=\underset{\mathrm{k}=0}{\overset{\mathrm{n}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}!(\mathrm{n}-<!--\; -\; -->\mathrm{k})!}\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}\rceil <!--\; \rceil \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{b}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{k}\rceil <!--\; \rceil \; -->}\rfloor$$\mathrm {{\bigl (}{\vec {a}}+{\vec {b}}{\bigr )}^{\lceil n\rceil }=\sum _{k=0}^{n}{n! \over k!(n-k)!}{\bigl \lfloor }{\vec {a}}^{\lceil n-k\rceil }{\vec {b}}^{\lceil k\rceil }{\bigr \rfloor }}$ .

Для дифференциала степени скаляра известно, что:

1.58. $\mathrm{d}{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{d}(\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{a}\mathrm{a}...\mathrm{a}}})=(\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{d}\mathrm{a}(\underset{\mathrm{n}-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{a}\mathrm{a}...\mathrm{a}}})+\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}(\underset{\mathrm{n}-<!--\; -\; -->2}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{a}\mathrm{a}...\mathrm{a}}})+...}})=\mathrm{n}{\mathrm{a}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}-<!--\; -\; -->1\rceil <!--\; \rceil \; -->}\mathrm{d}\mathrm{a}$$\mathrm {d\ a^{n}=d(\underbrace {a\ a...a} _{n})=(\underbrace {d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-1})+a\ d\ a(\underbrace {a\ a...a} _{n-2})+...} _{n})=n\ a^{\lceil n-1\rceil }d\ a}$ .

Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:

1.59. $\mathrm{d}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}=\mathrm{d}(\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}...\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}})=(\underset{\mathrm{n}}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}(\underset{\mathrm{n}-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}...\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}})+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}(\underset{\mathrm{n}-<!--\; -\; -->2}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}...\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}})+...}})=\mathrm{n}\lfloor <!--\; \lfloor \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}-<!--\; -\; -->1\rceil <!--\; \rceil \; -->}\mathrm{d}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{a}}\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\mathrm {d\ {\vec {a}}^{\lceil n\rceil }=d(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n})=(\underbrace {d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-1})+{\vec {a}}\ d\ {\vec {a}}(\underbrace {{\vec {a}}\ {\vec {a}}...{\vec {a}}} _{n-2})+...} _{n})=n\lfloor {\vec {a}}^{\lceil n-1\rceil }d\ {\vec {a}}\rfloor }$ .

Кратное скалярное произведениеПравить

В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:

1.60. ${\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\stackrel{(\mathrm{k})}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}={\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}}}({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}+1}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{k}}})...({\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}){\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{k}+1}}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}=i_{m_{1}}...i_{m_{m-k}}{\bigl (}i_{m_{m-k+1}}\cdot i_{n_{k}}{\bigr )}...{\bigl (}i_{m_{m}}\cdot i_{n_{1}}{\bigr )}i_{n_{k+1}}...i_{n_{n}}}$ ,

то есть:

1.61. ${\mathbf{C}}^{[\mathrm{m}+\mathrm{n}-<!--\; -\; -->2\mathrm{k}]}={\mathbf{A}}^{[\mathrm{m}]}\stackrel{(\mathrm{k})}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{B}}^{[\mathrm{n}]}\underset{\begin{array}{c}{m}_1...m_m\\ {\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}})}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{n}}_1...{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}})}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}\stackrel{(\mathrm{k})}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_1}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{n}}}$$\mathrm {\mathbf {C} ^{[m+n-2k]}=\mathbf {A} ^{[m]}{\overset {(k)}{\bullet }}\mathbf {B} ^{[n]}\sum _{\begin{matrix}m_{1}...m_{m}\\\mathrm {n_{1}...n_{n}} \end{matrix}}A^{(m_{1}...m_{m})}B^{(n_{1}...n_{n})}i_{m_{1}}...i_{m_{m}}{\overset {(k)}{\bullet }}i_{n_{1}}...i_{n_{n}}}$ 

и

1.62. ${\mathrm{C}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}-<!--\; -\; -->2\mathrm{k}})}=\underset{{\mathrm{k}}_1...{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}}{\mathrm{k}}_1...{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}})}{\mathrm{B}}^{({\mathrm{k}}_1...{\mathrm{k}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}-<!--\; -\; -->\mathrm{k}+1}...{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}-<!--\; -\; -->2\mathrm{k}})}$$\mathrm {C^{(m_{1}...m_{m+n-2k})}=\sum _{k_{1}...k_{k}}A^{(m_{1}...m_{m-k}k_{1}...k_{k})}B^{(k_{1}...k_{k}m_{m-k+1}...m_{m+n-2k})}}$ .

Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:

1.63. ${\mathrm{A}}^{({\mathrm{m}}_1...{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}})}={\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}\stackrel{(\mathrm{m})}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{A}}^{[\mathrm{m}]}={\mathbf{A}}^{[\mathrm{m}]}\stackrel{(\mathrm{m})}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_{\mathrm{m}}}...{\mathrm{i}}_{{\mathrm{m}}_1}$$\mathrm {A^{(m_{1}...m_{m})}=i_{m_{m}}...i_{m_{1}}{\overset {(m)}{\bullet }}\mathbf {A} ^{[m]}=\mathbf {A} ^{[m]}{\overset {(m)}{\bullet }}i_{m_{m}}...i_{m_{1}}}$ 

Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряженийПравить

 Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:

1.64. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ {\vec {p}}^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ={\delta \ {\vec {p}}^{(V)} \over \delta \ t}}$ 

Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:

1.65. $\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}+\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{P}-<!--\; -\; -->{\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {\mathbf {\Pi } =\rho {\vec {V}}\ {\vec {V}}+\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$ 

и для тензора вязких напряжений:

1.66. ${\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{I}}=2\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\lfloor \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{V}\rfloor -<!--\; -\; -->\frac{\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}}{3}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}})$$\mathrm {{\boldsymbol {\sigma }}^{I}=2\ \eta {\Biggl (}{\Bigl \lfloor }{\nabla V}{\Bigr \rfloor }-{{\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}{\Biggr )}}$ .

Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):

1.67. ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{T}$$\mathrm {{\vec {q}}^{\kappa }=-\kappa \nabla T}$ 

представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин ${\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$$\mathrm {{\vec {q}}^{\kappa }}$  по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.

Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.

На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.

Уравнения моментов функции распределенияПравить

Механические моменты и моменты функции распределенияПравить

Основные уравнения газодинамики представляют собой уравнения моментов функции распределения частиц по скоростям. Функция ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$ 

2.1. ${\mathrm{d}}^2{\mathrm{N}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{d}}^3\mathrm{r}{\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {d^{2}N_{\alpha }=f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})d^{3}r\ d^{3}\mathrm {v} }$ ,

где

• ${\mathrm{d}}^3\mathrm{r}$$\mathrm {d^{3}r}$  – элемент объема в пространстве координат;
• ${\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {d^{3}v}$  – элемент объема в пространстве скоростей;
• ${\mathrm{d}}^2{\mathrm{N}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {d^{2}N_{\alpha }}$  – количество частиц в элементе объема ${\mathrm{d}}^3\mathrm{r}$$\mathrm {d^{3}r}$  в пространстве координат и элементе объема ${\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {d^{3}\mathrm {v} }$  в пространстве скоростей.

Инструментом для отыскания функции ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {f_{\alpha }({\vec {v}})}$   является кинетическое уравнение:

2.2. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})+{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{v}}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})\frac{{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{F}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}})=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\Bigl (}f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}){\vec {\mathrm {v} }}{\Bigr )}+\nabla _{\mathrm {v} }\cdot {\Bigl (}f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}){{\vec {F}}_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over m_{\alpha }}{\Bigr )}={\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}}$ ,

где

• ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{F}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {{\vec {F}}_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$ – сила, действующая на частицу сорта $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , имеющую скорость $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}$$\mathrm {\vec {v}}$ ;
• ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathrm{v}}={\mathrm{i}}_{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{v}}_{\mathrm{x}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}}+{\mathrm{i}}_{\mathrm{z}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{v}}_{\mathrm{z}}}$$\mathrm {\nabla _{\mathrm {v} }=i_{x}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{x}}+i_{y}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{y}}+i_{z}{\partial \over \partial \ \mathrm {v} _{z}}}$ – оператор Гамильтона в пространстве скоростей;
• $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}$ – интеграл столкновений – изменение ${\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})}$  в единицу времени в результате столкновений.

Основные механические характеристики частицы представляют собой моменты массы , где момент массы ${\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})$$\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})}$  порядка $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$  определяется выражением:

2.3. ${\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}$$\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }}$ .

Например:

• момент массы 0-го порядка ${\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}$$\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }}$  представляет собой просто массу частицы;
• момент массы 1-го порядка ${\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[1]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->1\rceil <!--\; \rceil \; -->}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}$$\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[1]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 1\rceil }={m}_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}}$  представляет собой импульс частицы;
• момент массы 2-го порядка ${\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[2]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->2\rceil <!--\; \rceil \; -->}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}$$\mathrm {\mathbf {m} _{\alpha }^{[2]}({\vec {\mathrm {v} }})=m_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 2\rceil }={m}_{\alpha }{\vec {\mathrm {v} }}\ {\vec {\mathrm {v} }}}$  представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого $\frac{1}{2}\mathrm{T}\mathrm{r}({\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[2]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}))=\frac{1}{2}{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{v}}^2$$\mathrm {{1 \over 2}Tr{\bigl (}\mathbf {m} _{\alpha }^{[2]}({\vec {\mathrm {v} }}){\bigr )}={1 \over 2}m_{\alpha }\mathrm {v} ^{2}}$  есть кинетическая энергия частицы,

Основные газодинамические параметры представляют собой моменты функции распределения :

2.4. ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}={\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})=\int <!--\; \int \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}){\mathrm{d}}^3\mathrm{v}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{n}\rceil <!--\; \rceil \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[n]}=n_{\alpha }\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})=\textstyle \int \mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }})f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }})d^{3}\mathrm {v} =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil n\rceil }\rangle }$ ,

где   

• ${\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {n_{\alpha }}$  – концентрация (количество частиц в единице объема);
• $⟨<!--\; ⟨\; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \ \ \rangle$  – символ осреднения по скоростям.

Например:

• момент 0-го порядка ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[0]}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->0\rceil <!--\; \rceil \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[0]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 0\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }=\rho _{\alpha }}$  представляет собой плотность массы (массу единицы объема);
• момент 1-го порядка ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[1]}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->1\rceil <!--\; \rceil \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}⟩<!--\; ⟩\; -->={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[1]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 1\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}\rangle ={\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}}$  представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
• момент 2-го порядка ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[2]}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->2\rceil <!--\; \rceil \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[2]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 2\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}\ {\vec {\mathrm {v} }}\rangle =\mathbf {\Pi } _{\alpha }}$  представляет собой плотность потока импульса (кинетический тензор, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого $\frac{1}{2}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{(2)}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[2]}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{V}}$$\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {M} _{\alpha }^{[2]}=\varepsilon _{\alpha }^{V}}$  есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
• момент 3-го порядка ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[3]}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}}^{\lceil <!--\; \lceil \; -->3\rceil <!--\; \rceil \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[3]}=m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {\mathrm {v} }}^{\lceil 3\rceil }\rangle =m_{\alpha }n_{\alpha }\langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle =\mathbf {Q} _{\alpha }}$  представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого $\frac{1}{2}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{(2)}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[3]}={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {M} _{\alpha }^{[3]}={\vec {q}}_{\alpha }}$  равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).

Похожее описание приведено в работе R. Fitzpatrick Plasma Physics : An Introduction, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка ${\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {Q} _{\alpha }$ .

Уравнения моментов функции распределенияПравить

Уравнение момента $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ -го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ -го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.

В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:

2.5. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}+1]}-<!--\; -\; -->\mathrm{n}\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}+{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}-<!--\; -\; -->1]}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{E}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {M} _{\alpha }^{[n+1]}-n{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {M} _{\alpha }^{[n]}\times {\vec {B}}+\mathbf {M} _{\alpha }^{[n-1]}{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}}$ ,

где   $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}$    – изменение момента   в единицу времени в результате столкновений:

2.6. $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}=\int <!--\; \int \; -->{\mathbf{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[\mathrm{n}]}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{f}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}})}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}{\mathrm{d}}^3\mathrm{v}$$\mathrm {{\delta \ \mathbf {M} _{\alpha }^{[n]} \over \delta \ t}={\textstyle \int }\mathbf {m} _{\alpha }^{[n]}({\vec {\mathrm {v} }}){\delta \ f_{\alpha }({\vec {\mathrm {v} }}) \over \delta \ t}d^{3}\mathrm {v} }$ .

В зависимости от порядка $n$$n$  можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):

• при $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ =0 – уравнение непрерывности:

2.7. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \rho _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}={\delta \ \rho _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ;

• при $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ =1 – уравнение движения:

2.8. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{E}})=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{\alpha }-{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl (}{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}\times {\vec {B}}+\rho _{\alpha }{\vec {E}}{\bigr )}={\delta \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta \ t}}$ ;

• при $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ =2 – уравнение потока импульса:

2.9. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->2\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}+{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{E}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {Q} _{\alpha }-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\Pi } _{\alpha }\times {\vec {B}}+{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)}{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ;

• при $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ =3 – уравнение моменте третьего порядка:

2.10. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[4]}-<!--\; -\; -->3\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}+{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{E}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot \mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {Q} _{\alpha }\times {\vec {B}}+\mathbf {\Pi } _{\alpha }{\vec {E}}{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментовПравить

На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента $\mathrm{n}$$\mathrm {n}$ -го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка $\mathrm{n}+1$$\mathrm {n+1}$ .

В любом описании система уравнений газодинамики замыкается приближенно с использованием предположений того или иного уровня точности.

Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей статических моментов.

Сопутствующей системой координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе  (хаотическая скорость) может быть представлена так:

2.11. $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\vec {v}}\mathrm {={\vec {\mathrm {v} }}-{\vec {V}}_{\alpha }}$ .

При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathrm {{\vec {V}}_{\alpha }=\langle {\vec {\mathrm {v} }}\rangle }$  имеем:

2.12. $⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}⟩<!--\; ⟩\; -->\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$\langle {\vec {v}}\rangle \equiv 0$ .

Таким образом, первый момент  (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.

Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и  могут находиться подстановкой $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$${\vec {v}}$  вместо $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{v}}$${\vec {\mathrm {v} }}$  в выражения для моментов функции распределения:

2.13. ${\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathrm {\mathbf {P} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

2.14. ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathrm {\mathbf {G} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

2.15. ${\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathrm {\mathbf {W} _{\alpha }=m_{\alpha }n_{\alpha }} \langle {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\ {\vec {v}}\rangle$ ,

где 

• ${\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {P} _{\alpha }$  – тензор давления компоненты, равный кинетическому тензору ${\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {\Pi } _{\alpha }$  в сопутствующей системе координат;
• ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {G} _{\alpha }$  – третий статический момент, равный третьему моменту ${\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {Q} _{\alpha }$  в сопутствующей системе координат;
• ${\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {W} _{\alpha }$  – четвертый статический момент, равный четвертому моменту ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[4]}$$\mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}$  в сопутствующей системе координат.

Тензор ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {G} _{\alpha }$  можно условно называть потоком давления.

Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:

2.16. ${\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {\Pi } _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+\mathbf {P} _{\alpha }}$ ,

2.17. ${\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+3\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor +{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {Q} _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+3{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+\mathbf {G} _{\alpha }}$ ,

2.18. ${\mathbf{M}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[4]}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+6\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor +4\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor +{\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {M} _{\alpha }^{[4]}=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+6{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+4{\bigl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr \rfloor }+\mathbf {W} _{\alpha }}$ .

При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать уравнение давления:

2.19. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})-<!--\; -\; -->2\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +2\lfloor {\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }={\delta \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ 

и уравнение потока давления:

2.20. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})-<!--\; -\; -->3\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +3\lfloor {\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }+\mathbf {W} _{\alpha }{\bigr )}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+3{\biggl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{\mathbf {P} _{\alpha }\nabla \cdot \mathbf {P} _{\alpha } \over \rho _{\alpha }}{\biggr \rfloor }={\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ,

где $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {\delta \ \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta \ t}$   и $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}$  – изменения ${\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {P} _{\alpha }$  и ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {G} _{\alpha }$  в единицу времени в результате столкновений, равные:

2.21. $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t}-<!--\; -\; -->2\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{V}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(V)}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t}\rfloor +{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{V}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}t}$${\delta \mathbf {P} _{\alpha } \over \delta t}={\delta \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta t}-2{\biggl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\delta {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta t}{\biggr \rfloor }+{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \rho _{\alpha } \over \delta t}$ 

2.22. $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{Q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}-<!--\; -\; -->3\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}+\frac{{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}(\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{p}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(\mathrm{V})}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}})\rfloor$$\mathrm {{\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}={\delta \ \mathbf {Q} _{\alpha } \over \delta \ t}-3{\Biggl \lfloor }{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \ \mathbf {\Pi } _{\alpha } \over \delta \ t}+{\mathbf {P} _{\alpha }-{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \rho _{\alpha }}{\biggl (}{\delta \ {\vec {p}}_{\alpha }^{(V)} \over \delta \ t}-{\vec {V}}_{\alpha }{\delta \ \rho _{\alpha } \over \delta \ t}{\biggr )}{\Biggr \rfloor }}$ .

Можно заметить, что половина следа тензора ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {G} _{\alpha }$  представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:

2.23. $\frac{1}{2}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{(2)}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$$\mathrm {{1 \over 2}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {G} _{\alpha }={\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }}$ .

Следует также отметить, что понятие тензора вязких напряжений является реликтом, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.

На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса вместе с частицами, а не результата обмена импульсами (действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:

2.24. ${\mathbf{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {\Pi } _{\alpha }=\rho _{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {V}}_{\alpha }+\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }+\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }}$ ,

где ${\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }$  – тензор вязкости, равный:

2.25. ${\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}={\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=-<!--\; -\; -->{\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }=\mathbf {P} _{\alpha }-\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }=-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$ .

Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках ${\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=-<!--\; -\; -->{\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{I}}$$\mathrm {\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }=-{\boldsymbol {\sigma }}^{I}}$  между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса вместе с молекулами и тензором вязких напряжений как "силой", действующей на объем.

Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге Б. Росси и С. Ольберта "Introduction to the physics of space" , но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {G} _{\alpha }$ .

Приближение третьего рангаПравить

Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.

Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга ${\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathbf {W} _{\alpha }$ . При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$${\vec {v}}$  распределении.

Например, при максвелловском распределении имеет место равенство:

2.26. ${\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=3\lfloor \mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\rfloor \frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\mathrm {\mathbf {W} _{\alpha }=3{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\bigr \rfloor }{P_{\alpha }P_{\alpha } \over \rho _{\alpha }}}$ .

В работе предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):

2.27. ${\mathbf{W}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=3\frac{\lfloor {\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor }{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\mathbf {W} _{\alpha }=3{{\bigl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\alpha }{\bigr \rfloor } \over \rho _{\alpha }}$ .

В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид

2.28. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})-<!--\; -\; -->3\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +3\lfloor {\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor +3\lfloor {\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\frac{{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}})\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {G} _{\alpha }{\bigr )}-3{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+3{\bigl \lfloor }\mathbf {G} _{\alpha }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }+3{\biggl \lfloor }\mathbf {P} _{\alpha }\cdot \nabla {\biggl (}{\mathbf {P} _{\alpha } \over \rho _{\alpha }}{\biggr )}{\biggr \rfloor }={\delta \ \mathbf {G} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ ,

то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.

Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления ${\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{1}{3}\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}\stackrel{(2)}{\bullet <!--\; \bullet \; -->}{\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {P_{\alpha }={1 \over 3}\mathbf {\boldsymbol {\delta }} {\overset {(2)}{\bullet }}\mathbf {P} _{\alpha }}$ :

2.29. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{2}{3}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{G}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})+\frac{2}{3}\lfloor {\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+({\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor =\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ P_{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }P_{\alpha }+{2 \over 3}{\vec {G}}_{\alpha }{\bigr )}+{2 \over 3}{\bigl \lfloor }P_{\alpha }\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }+(\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\cdot \nabla )\cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }={\delta \ P_{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:

2.30. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}}{3}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}})-<!--\; -\; -->2\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +2{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\lfloor \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor -<!--\; -\; -->\frac{\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}}{3}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\biggl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\biggr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2P_{\alpha }{\biggl (}{\bigl \lfloor }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\biggr )}={\delta \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \delta \ t}}$ .

Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя ${\mathbf{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\mathrm {\mathbf {P} _{\alpha }=\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \ P_{\alpha }}$  (как при максвелловском распределении) можно показать для теплопроводности:

2.31. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}})+\frac{3}{2}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +\frac{5}{2}\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{k}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\mathrm{T}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}$$\mathrm {{\partial \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\bigr )}+{3 \over 2}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\cdot \nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{3 \over 2}{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+{5 \over 2}{P_{\alpha }k \over \rho _{\alpha }}\nabla T_{\alpha }={\delta \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \delta \ t}}$ .

Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так:

2.32. $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}=-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}\frac{{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{d}}}$$\mathrm {{\delta \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \delta \ t}=-{3 \over 2}{\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

2.33. $\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{t}}=-<!--\; -\; -->\frac{{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{d}}}$$\mathrm {{\delta \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \delta \ t}=-{{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

где ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{d}}$$\mathrm {\tau _{\alpha \alpha }^{d}}$ – эффективное время передачи давления.

Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:

2.34. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+{\mathbf{G}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}}{3}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}})-<!--\; -\; -->2\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +2{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\lfloor \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\rfloor -<!--\; -\; -->\frac{\mathit{\delta <!--\; \delta \; -->}}{3}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})=-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}\frac{{\mathit{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{d}}}$$\mathrm {{\partial \ \mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\biggl (}{\vec {V}}_{\alpha }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }+\mathbf {G} _{\alpha }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\biggr )}-2{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+2P_{\alpha }{\biggl (}{\bigl \lfloor }\nabla {\vec {V}}_{\alpha }{\bigr \rfloor }-{\mathbf {\boldsymbol {\delta }} \over 3}\nabla \cdot {\vec {V}}_{\alpha }{\biggr )}=-{3 \over 2}{\mathbf {\boldsymbol {\pi }} _{\alpha } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ ,

2.35. $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{t}}+\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->({\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}})+\frac{3}{2}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{V}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{3}{2}\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\lfloor {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}}\rfloor +\frac{5}{2}\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{k}}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{\mathrm{T}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{q}}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\mathrm{d}}}$$\mathrm {{\partial \ {\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \partial \ t}+\nabla \cdot {\bigl (}{\vec {V}}_{\alpha }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }{\bigr )}+{3 \over 2}{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\cdot \nabla {\vec {V}}_{\alpha }-{3 \over 2}{q_{\alpha } \over m_{\alpha }}{\bigl \lfloor }{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa }\times {\vec {B}}{\bigr \rfloor }+{5 \over 2}{P_{\alpha }k \over \rho _{\alpha }}\nabla T_{\alpha }=-{{\vec {q}}_{\alpha }^{\kappa } \over \tau _{\alpha \alpha }^{d}}}$ .

Граничные условия и характеристики столкновенийПравить

Можно заметить, что "классические" выражения для вязкости и теплопроводности можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях только последние слагаемые. Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.

Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).

Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует пространственный слой заряда (ленгмюовский слой), по своей природе неоднородный и нестационарный. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является зеркальным - происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.

Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах.

Актуальным остается вопрос о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом упругих и неупругих столкновений в объеме.

См. такжеПравить

• Физическая кинетика
• Статистическая физика
• Физика плазмы

ЛитератураПравить

• Речкалов В.Г. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.