Телеграфные уравнения

Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.

Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.

Распределённые параметрыПравить

 

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электрической связи

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:

• Сопротивление проводников $R$$R$  представлено в виде продольного резистора (выражается в ом на единицу длины).
• Индуктивность $L$$L$ , учитывающая эффекты самоиндукции и взаимоиндукции от наличия магнитного поля вокруг проводников с током, представлена в виде продольной катушки индуктивности (генри на единицу длины).
• Ёмкость $C$$C$  между двумя проводниками представлена в виде поперечного конденсатора (фарад на единицу длины).
• Проводимость диэлектрического материала (изоляции), разделяющего два проводника, $G$$G$  представлена в виде поперечного резистора (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление $1/G$$1/G$  Ом.

Параметры $R$$R$  и $L$$L$  показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры $R$$R$ , $L$$L$ , $C$$C$ , $G$$G$  называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения $R^{\prime }$$R'$ , $L^{\prime }$$L'$ , $C^{\prime }$$C'$ , $G^{\prime }$$G'$ , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

УравненияПравить

Линия без потерьПравить

Когда элементы $R$$R$  и $G$$G$  малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов $L$$L$  и $C$$C$ , мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения $U$$U$  вдоль линии, а другая — распределение тока $I$$I$ , обе функции зависят от координаты $x$$x$  и времени $t$$t$ :

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}U(x,t)=-<!--\; -\; -->L\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}I(x,t),$${\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}I(x,t)=-<!--\; -\; -->C\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}U(x,t).$${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).$ 

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}U=\frac{1}{LC}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}U,$${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U,$ 

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}I=\frac{1}{LC}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}I.$${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I.$ 

В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) $E=E_0\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\frac{x}{c}-<!--\; -\; -->t)}$$E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)}$ , уравнения упрощаются до

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}U(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}LC\cdot <!--\; \cdot \; -->U(x)=0,$${\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,$ 

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}I(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}LC\cdot <!--\; \cdot \; -->I(x)=0,$${\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,$ 

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью $v=1/\sqrt{LC}$$v=1/{\sqrt {LC}}$ .

Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.

Линия с потерямиПравить

Когда элементами $R$$R$  и $G$$G$  нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}U(x,t)=-<!--\; -\; -->L\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}I(x,t)-<!--\; -\; -->RI(x,t),$${\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}I(x,t)=-<!--\; -\; -->C\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}U(x,t)-<!--\; -\; -->GU(x,t).$${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t).$ 

Дифференцируя первое уравнение по $x$$x$  и второе по $t$$t$ , после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}U=LC\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}U+(RC+GL)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}U+GRU,$${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,$ 

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}^2}I=LC\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}^2}I+(RC+GL)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}I+GRI.$${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.$ 

Если потери линии малы (малые $R$$R$  и $G=0$$G=0$ ), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как $e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x}$$e^{-\alpha x}$ , где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=R/(2Z_0)$$\alpha =R/(2Z_{0})$ .

Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над $U$$U$  и $I$$I$  и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Направление распространения сигналаПравить

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая $R=0$$R = 0$  и $G=0$$G=0$ ), решение может быть представлено в виде

$U(x,t)=f_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx)+f_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+kx),$$U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),$ 

где:

$k=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sqrt{LC}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/v,$$k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,$ 

$k$$k$  называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — угловая частота (в радианах в секунду),

$f_1$$f_1$  и $f_2$$f_{2}$  могут быть любыми функциями, и

$v=1/\sqrt{LC}$$v=1/{\sqrt {LC}}$  — скорость распространения волны (или фазовая скорость).

$f_1$$f_1$  представляет волну, идущую в положительном направлении оси $x$$x$  (слева направо), $f_2$$f_{2}$  представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке $x$$x$  линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током $I$$I$  и напряжением $U$$U$  описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

$I(x,t)=\frac{f_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->kx)}{Z_0}-<!--\; -\; -->\frac{f_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+kx)}{Z_0},$$I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},$ 

где $Z_0$$Z_0$  — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}.$$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.$ 

Решение телеграфных уравненийПравить

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге.

См. такжеПравить

• Волновое уравнение
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока