Тангенциальное ускорение

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Разложение ускорения $\mathbf{a}(t)$$\mathbf {a} (t)$ на тангенциальное ${\mathbf{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {a} _{\tau }$ и нормальное ${\mathbf{a}}_n$${\mathbf a}_{n}$ ($\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\mathbf \tau }$ — единичный касательный вектор)

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: ${\mathbf{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {a} _{\tau }$ или ${\mathbf{a}}_t$$\mathbf {a} _{t}$, ${\mathbf{w}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {w} _{\tau }$, ${\mathbf{u}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {u} _{\tau }$. Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина $a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$a_{\tau }$ равна проекции полного ускорения $\mathbf{a}$$\mathbf {a}$ на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формулаПравить

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

$a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}|}{dt}$$a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}$ ,

где $v=dl/dt$$v\ =dl/dt$  — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\mathbf \tau }$ , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

${\mathbf{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{dv}{dt}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau }$ .

Тангенциальное ускорение ${\mathbf{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {a} _{\tau }$  параллельно вектору скорости $\mathbf{v}$${\mathbf v}$  при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулыПравить

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде $\mathbf{v}=v\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$  через единичный вектор касательной $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$${\mathbf \tau }$ :

$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d(v\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}{dt}=\frac{dv}{dt}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+v\frac{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{dt}=\frac{dv}{dt}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+\frac{v^2}{R}\mathbf{n}$$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n}$ .

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение ${\mathbf{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$\mathbf {a_{\tau }}$ , а второе — нормальное ускорение ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$$\mathbf {a_{n}}$  ($R$$R$  и $\mathbf{n}$$\mathbf n$  — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примерыПравить

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью $v_0$$v_{0}$ , направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=v_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}-<!--\; -\; -->gt\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$${\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}$ , где $g$$g$  — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит $v=\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}$$v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}$ , а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется $a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=dv/dt=g^{2}t/\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}$$a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}$ . В начальный момент оно равно нулю, а при больших $t$$t$  стремится к $g$$g$ . Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}}{v}=a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{v_0\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}-<!--\; -\; -->gt\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}}{\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}}=\frac{v_0{g}^{2}t}{v_0^2+g^2{t}^2}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}-<!--\; -\; -->\frac{g^3{t}^2}{v_0^2+g^2{t}^2}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$${\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{v}}=a_{\tau }\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {j}}$ .

В этих выражениях $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$$\vec{i}$ , $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec{j}$  — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=r_0\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}+r_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$${\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}$ .

В таком случае скорость тела найдётся как $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}/dt=r_0\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}-<!--\; -\; -->r_0\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \sin(\omega t){\vec {j}}$ . Соответственно, её модуль равен $v=\sqrt{r_0^2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{\cos }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+r_0^2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{\sin }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}=r_0\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega$  и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

$a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(r_0\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}{dt}=0$$a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0$ .

Рассмотренная зависимость $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}(t)$${\vec {r}}(t)$  описывает равномерное движение по окружности радиусом $r_0$$r_{0}$ .

РавнопеременностьПравить

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» ($a_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=$$a_{\tau }=\,$ const) и «равноускоренное» ($\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=$${\vec {a}}=\,$ const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.