Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение Править

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$  и определённые на нём случайные величины $X,X_n:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m,n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb {R} ^{m}$ , называемую её распределением.

Случайные величины $X_n$$X_n$  сходятся по распределению к случайной величине $X$$X$ , если распределения ${\mathbb{P}}^{X_n}$${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$  слабо сходятся к распределению ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$ , то есть

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{{\mathbb{R}}^m}{\int <!--\; \int \; -->}f(x){\mathbb{P}}^{X_n}(dx)=\underset{{\mathbb{R}}^m}{\int <!--\; \int \; -->}f(x){\mathbb{P}}^X(dx)$$\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X_{n}}}(dx)=\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}(dx)$ 

для любой непрерывной ограниченной функции $f:{\mathbb{R}}^m\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}$ .

Замечания Править

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\mathbb{E}f(X_n)=\mathbb{E}f(X)$$\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)$ .

• Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению Править

• Случайные величины $X_n$$X_n$  сходятся по распределению к $X$$X$ , если их функции распределения $F_{X_n}$$F_{{X_{n}}}$  сходятся к функции распределения предела $F_X$$F_{X}$  во всех точках непрерывности последней:

$F_X\in <!--\; \in \; -->C(x)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{F}_{X_n}(x)=F_X(x)$$F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)$ .

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{f}_{X_n}(x)\to <!--\; \to \; -->f_X(x)$$\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)$  почти всюду,

то $X_n{\to <!--\; \to \; -->}^{\mathcal{D}}X$$X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X$ . Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в $L^p$$L^{p}$ ) влечёт сходимость по распределению:

$X_n{\to <!--\; \to \; -->}^{\mathbb{P}}X\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->X_n{\to <!--\; \to \; -->}^{\mathcal{D}}X$$X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X$ .

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также Править

• Теорема Слуцкого